Software & Systems

Повышение ресурса, долговечности и надежности ответственных элементов конструкций является приоритетной задачей на всех этапах проектирования, производства и эксплуатации изделий авиационной техники. Значительная часть в общей структуре затрат, связанных с обеспечением ресурса, приходится на статические и особенно циклические испытания как материалов и полуфабрикатов, так и натурных элементов конструкций. Высокая стоимость подобных испытаний связана со стоимостью современных материалов, физико-механических, термомеханических, химико-технологических и иных воздействий на объекты испытаний, которые являются обязательными этапами при отработке технологии производства конструкций, со стоимостью изготовления моделей, прототипов и, наконец, натурных объектов, значительными временными затратами при проведении усталостных испытаний. В этих условиях оптимизация испытаний позволяет существенно снизить затраты за счет грамотной формулировки целевых функций, критериев обеспечения надежности, вероятностно-статистического обоснования факторов планирования эксперимента и точности оценивания расчетных характеристик выносливости и долговечности силовых элементов конструкций.

Среди всего многообразия технологий испытаний авиационной техники особая роль отводится усталостным испытаниям материалов и элементов конструкций в связи с их большой трудоемкостью, длительностью, весьма значительным рассеянием характеристик сопротивления усталостному разрушению, связанным с неоднородностью структуры конструкционных материалов и особенностями эксплуатационной нагруженности летательных аппаратов [1, 2].

В связи с вышеизложенным в настоящей ра- боте рассматриваются задача оптимального планирования прямых усталостных испытаний, к которым относят испытания по определению долговечности до разрушения или до образования усталостной трещины, а также более трудоемкая задача планирования косвенных усталостных испытаний, к которым относят испытания по определению справочной характеристики – предела выносливости [3]. Последняя задача рассматривается в постановке, связанной с построением кривой усталости как наиболее надежном методе определения предела выносливости в широком диапазоне долговечностей, соответствующем реальному спектру эксплуатационной нагруженности элементов конструкций авиационной техники.

При планировании усталостных испытаний, то есть при определении минимально необходимого объема выборки, следует исходить из целей ис- пытаний. Рассмотрим задачу, связанную с пла- нированием испытаний по оценке квантильных значений характеристик усталостных свойств. В этом случае объем выборки определяется исходя из нормативной ширины доверительного интервала для квантиля исследуемой характеристики. При прямых испытаниях (то есть при испытаниях до достижения критического состояния на одном уровне амплитуд напряжений цикла) такой характеристикой является логарифм долговечности x=lgN, распределение которой предполагается нормальным. Верхние и нижние доверительные границы для квантиля xp уровня p логарифма долговечности  рассчитывают на основе гипотетического нормального распределения по оценкам его параметров:

,                                                       (1)

,                        (2)

,                     (3)

где b – уровень доверительной вероятности (обычно 0,9 или 0,95); tg[f, D] – квантиль уровня g нецентрального распределения Стьюдента с f=n–1 степенями свободы и с параметром нецентральности; zp – квантиль уровня p нормированного нормального распределения;  – оценки параметров нормального распределения логарифма долговечности [3–6].

На рисунке 1 схематично показаны доверительные границы для квантиля распределения логарифма долговечности. Для примера на рисунке указаны симметричные относительно медианы (P=0,5) уровни квантиля 0,01 и 0,99, то есть

,

.

Алгоритм точного расчета обратной функции интеграла вероятностей нецентрального распределения Стьюдента подробно рассмотрен в [4].

Как видно из уравнений (2) и (3), весьма удобным для дальнейших расчетов является нормирование относительной ширины одностороннего доверительного интервала в следующем виде:

для p<0,5,                                                               (4)

для p³0,5,                                                               (5)

где dp – максимальная ошибка оценки квантиля в долях выборочного среднего квадратичного отклонения [3]. При таком подходе объем выборки не зависит от оценок характеристик распределения. Расчеты показывают, что величина dp может принимать значения 0,1–0,3 при высоких требованиях к точности, 0,4–0,6 при средних требованиях и 0,8–1,0 при низких [3, 4, 6].

Однако после проведения полного объема испытаний необходимо уточнить относительную ошибку в долях оценки квантиля с учетом полученных по результатам испытаний оценок распределения логарифма долговечности:

 или .              (6)

Очевидно, что ,                      (7)

где  – оценка коэффициента вариации логарифма долговечности.

Эта ошибка уже зависит от оценок параметров распределения логарифма долговечности. Если ошибка (6) не удовлетворяет требованиям точности, объем испытаний должен быть увеличен и испытания продолжены до достижения требуемой точности.

Алгоритмы планирования усталостных испытаний

Таким образом, для решения задачи планирования усталостных испытаний с целью оценки квантиля распределения логарифма долговечности прежде всего необходимо разработать алгоритм расчета объема испытаний n по уравнениям (4) и (5) при заданных значениях относительной ошибки dp, уровня квантиля распределения логарифма долговечности p, доверительной вероятности b.

При этом наибольшие затруднения вызывает необходимость многократного вычисления обратной функции нецентрального распределения Стьюдента, в точности соответствующей заданному уровню доверительной вероятности, значение которого равно интегралу вероятностей нецентрального распределения при том, что n и p являются аргументами функции распределения. Чтобы избежать связанных с этим итерационных процедур [4], в настоящей работе предлагается следующий алгоритм численного расчета.

Алгоритм предполагает задание в качестве исходных данных величин относительной ошибки квантиля dp, минимального объема выборки, равного 3, уровней доверительной вероятности и квантиля. Затем, исходя из соотношений (4) или (5), вычисляется значение квантиля и интеграла вероятностей нецентрального распределения Стьюдента. Значение объема выборки циклически увеличивается на единицу до тех пор, пока расчетное значение интеграла вероятностей не превысит значения заданной доверительной вероятности b.

В таблице 1 представлены рассчитанные таким образом минимальные объемы выборок для доверительнoй вероятности 0,9.

Таблица 1

Минимальные объемы испытаний для оценки квантиля нормированной нормальной величины для доверительной вероятности b=0,9

Table 1

Minimum test values for assessing a normalized value fractile with confidence probability b=0,9

Аналогично может быть решена задача определения квантилей нецентрального распределения Стьюдента, но при этом на входе задается значение относительной ошибки dp от нуля с шагом 0,0005, достаточным, как показывают расчеты, для точного вычисления квантиля. Вычисления продолжаются до тех пор, пока расчетное значение интеграла вероятностей не превысит значения заданной доверительной вероятности b.

В таблице 2 представлены значения относительной ошибки для объемов выборки от 3 до 10 и доверительной вероятности 0,9. Необходимо отметить, что предлагаемый подход расчета позволяет производить весьма быстрые вычисления без итерационных процедур во всех реальных диапазонах вероятностей и уровней доверительной вероятности.

Таблица 2

Относительные ошибки оценки квантиля нормированной нормальной величины для доверительной вероятности b = 0,9

Table 2

Relative errors of assessing a normalized value fractile for confidence probability b = 0,9

При построении кривой усталости объем серии из n образцов или элементов конструкций разделяют в зависимости от планируемой про- тяженности кривой на 3–5 групп, каждую из которых испытывают при постоянном уровне переменных напряжений. С увеличением числа уровней амплитуд напряжений погрешность в определении предела выносливости возрастает. Значение ошибки определения предела выносливости зависит от характера распределения объема серии объектов усталостных испытаний п на отдельные группы по числу принятых уровней напряжений при испытаниях т. Наименьшая ошибка достигается в том случае, когда преобладающую часть объема серии испытывают на самом нижнем уровне переменных напряжений, но этот вариант распределения не является целесообразным из-за резкого увеличения времени испытаний. Если себестоимость объекта испытаний сравнительно невелика, то наиболее оптимальным с точки зрения минимума ошибки в определении предела выносливости и без резкого возрастания машинного времени является максимально возможный неравномерный вариант распределения образцов по уровням напряжений, симметричный относительно середины диапазона амплитуд цикла напряжений [3]. Например, при т = 4 на двух крайних уровнях напряжения испытывают до 40 % от п, при двух средних – по 10 % от п. При т = 3 на среднем уровне испытывают 10 % от п образцов, а на крайних – по 45 % от п. Большей асимметрии при п£10 добиться практически невозможно.

Как показывает практика, минимально необходимый набор факторов планирования усталостных испытаний, проводимых с целью обоснования медианы предела выносливости на данной базе с заданной погрешностью, следующий: общий объем испытаний и характер распределения объектов испытаний по уровням амплитуд напряжений циклов, число и значения этих уровней, коэффициент вариации предела выносливости. Перечисленные факторы определяют в первом приближении среднюю квадратичную ошибку медианы предела выносливости [3], величина которой вычисляется по следующей приближенной формуле:

,                    (8)

где  – относительный объем испытаний на  i-м уровне; ni – объем испытаний на i-м уровне;  – общий объем испытаний; ss – оценка среднего квадратичного отклонения предела выносливости; .

По аналогии с уравнениями (4) и (5) для прямых испытаний приближенные доверительные границы для медианы предела ограниченной выносливости имеют вид

                          (9)

что приводит к следующей величине относительной ошибки в определении медианы предела выносливости:

.       (10)

На рисунке 2 в схематическом виде пред­ставлена методика определения доверительных границ для предела выносливости при построении кривой усталости. Пунктиром показана верхняя доверительная граница для кривой усталости, откуда может быть определен потребный объем испытаний для обеспечения нормативной относительной ошибки в определении медианы предела выносливости на заданной базе N0, соответствующей значению x0=j(sa0):

.                        (11)

Преобразование xi=j(sai) линеаризует уравнение кривой усталости и поэтому зависит от выбранного уравнения кривой усталости.

Так, например, для уравнений кривых усталости

                                               (12)

или                                          (13)

,

для уравнения кривой усталости

                                                                      (14)

.

Выбор факторов при оптимизации планирования усталостных испытаний должен учитывать себестоимость усталостных испытаний [3], которая определяется стоимостью объектов и стоимостью времени проведения испытаний:

,                                              (15)

где C1 – стоимость одного объекта испытаний; C3= C2/(60×f) – стоимость одного цикла испытаний данного объекта, C2 – стоимость одного часа испытаний,  f – частота испытаний (об./мин.).

Общая долговечность испытаний (в циклах):

, ,                                         (16)

где  – средняя долговечность, соответствующая i-му уровню амплитуды напряжения цикла.

Таким образом, задача оптимального планирования усталостных испытаний заключается в определении минимального объема испытаний n и необходимого характера распределения объектов испытаний по уровням амплитуд напряжений с целью обеспечения нормативной относительной ошибки (10) при минимальной себестоимости (15) для данного варианта плана испытаний. Может быть минимизировано время испытаний T (16), которое для данного варианта уровней напряжений зависит только от характера распределения объектов по уровням. Такой способ планирования актуален для испытаний, проводимых на дорогостоящих испытательных стендах. При усталостных испытаниях натурных крупногабаритных деталей минимизировать следует объем испытаний n за счет увеличения продолжительности испытаний при прочих равных условиях. Необходимо отметить, что результаты оптимизации существенно варьируются в зависимости от предполагаемой базовой долговечности, для которой оценивается предел выносливости, то есть от степени экстраполяции по кривой усталости, а также от надежности обоснования априорных медианных кривых усталости.

В таблице 3 представлен фрагмент оптимального планирования усталостных испытаний с учетом их стоимости для четырех вариантов распределения объектов по уровням амплитуд напряжений циклов, соответствующих средним долговечностям в диапазоне от 105 до 107 циклов. В рассматриваемом примере заданы единичные стоимости объекта и часа испытаний, поэтому оптимальным по стоимости получился вариант со смещением объектов испытаний в сторону высоких амплитуд напряжений. В то же время оптимальным по объему является неравномерный симметричный вариант распределения объектов (2-й вариант), особенно при экстраполяции в область высоких базовых долговечностей, характерных для эксплуатационной нагруженности летательных аппаратов. Вариант № 4 представляется несколько экзотическим, так как требует значительного увеличения времени испытаний, что обычно не приветствуется испытателями. При изменении величин C1, C2 и C3, а также других факторов эксперимента, выводы по оптимизации могут измениться.

На основании изложенного можно сделать следующие выводы. В статье описаны разработанный оптимальный алгоритм и программный продукт для определения минимального объема выборки с целью оценки квантиля распределения логарифма долговечности при усталостных испытаниях, необходимые для решения задач обоснования нижнего гарантированного ресурса ответственных элементов авиационных конструкций.

Предложенные оптимальные алгоритмы расчета по сравнению с предлагаемыми ранее позволяют производить максимально быстрые вычисления без итерационных процедур во всех реальных диапазонах квантилей распределения и доверительных вероятностей, могут быть легко запрограммированы и использованы в общедоступном офисном пакете Exсel, что и было сделано авторами.

Благодаря разработанному алгоритму, методике и программе планирования усталостных испытаний, проводимых с целью построения кривой усталости, определен минимально необходимый набор факторов планирования: общий объем испытаний и характер распределения объектов испытаний по уровням амплитуд напряжений циклов, число и значения этих уровней, степень экстраполяции по кривой усталости, надежность обоснования априорных характеристик выносливости, стоимость объектов и времени испытаний. Рассмотренный пример планирования определяет пути минимизации затрат при обеспечении требуемой точности определения предела выносливости по кривой усталости, что весьма актуально для минимизации затрат дорогостоящих усталостных испытаний элементов конструкций.

Литература

1.     Райхер В.Л. Усталостная повреждаемость. М.: Изд-во МАТИ, 2006. 238 с.

2.     Райхер В.Л. Рассеяние усталостной долговечности. М.: Изд-во МАТИ, ЛАТМЭС, 2003. 221 с.

3.     Агамиров Л.В. Методы статистического анализа механических испытаний. М.: Интермет инжиниринг, 2004. 127 с.

4.     Агамиров В.Л., Агамиров Л.В., Вестяк В.А. Метод расчета квантилей распределения характеристик усталостных свойств элементов конструкций // Вестн. МАИ. 2011. №. 18. № 4. С. 71–76.

5.     Большев Л.H., Смирнов H.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983. 416 с.

6.     Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. Методы обработки данных. М.: Мир, 1980. 511 с.

7.     Рeaгsоn E.S., Hart1eу H.O. Biometrika Tables for Statisticians. Cambridge Univ. Press, 1966, vol. 1; 1972, vol. 2.

References

1.  Raiher V.L. Ustalostnaya povrezhdaemost [Fatigue Damageability]. Мoscow, MATI Publ., 2006, 238 p.

2.  Raiher V.L.  Rasseyanie ustalostnoy dolgovechnosti  [Dispersion of  Fatigue Durability].  Мoscow,  MATI  Publ.,
LATMES, 2003, 221 p.

3.  Agamirov L.V.  Metody statisticheskogo  analiza mekhanicheskikh ispytany  [Methods of the  Statistical Analysis  of
Mechanical Tests]. Moscow, Intermet Inzhiniring Publ., 2004, 127 p.

4.  Agamirov V.L., Agamirov L.V., Vestyak V.A. A calculation method for obtaining quantiles of fatigue characteristics
distribution of constructive elements.  Vestnik Moskovskogo aviatsionnogo instituta  [Bulletin  of Moscow Aviation Institute].
2011, vol. 18, no. 4, pp. 71–76.

5.  Bolshev L.N., Smirnov N.V. Tablitsy matematicheskoy statistiki [Tables of Mathematical Statistics]. Moscow, Nauka
Publ., 1983, 416 p.

6.  Johnson N., Lion F.  Statistika i planirovanie eksperimenta v tekhnike i nauke. Metody obrabotki dannykh  [Statistics
and Planning of Experiment in Equipment and Science. Data Processing Methods]. Moscow, Mir Publ., 1980, 511 p.

7.  Рeaгsоn E.S., Hart1eу  H.O.  Biometrika Tables for Statisticians.  Cambridge University Press  1966, vol. 1;  1972,
vol. 2.