Software & Systems

Один из первых вычислительных экспериментов по выяснению структурной устойчивости (в классическом смысле, по Ляпунову) больших систем был проведен Гарднером и Эшби (M.R. Gard­ner, W.R. Ashby «Connectance of large dynamic (cyber­netic) systems: Critical values of stability». 1970). Целью эксперимента было определение влияния размера системы (числа переменных) и ее связности (числа зависимостей между переменными) на вероятность устойчивости в определенном классе систем. Гарднер и Эшби ограничили свое исследование весьма конкретным классом систем (линейными динамическими системами, описываемыми системой линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами). Среди других результатов их исследование привело к открытию критической связности и дало следующий статистически достоверный закон для изучаемого класса систем: если линейная динамическая система (как она описана выше) достаточно велика (состоит из 10 или более переменных) и ее связность (процент ненулевых недиагональных элементов в матрице, описывающей эту систему) меньше 13 % (критическая связность), тогда данная система почти наверняка устойчива. Если ее связность больше 1З %, она почти наверняка неустойчива; отклонения в 2 % от критической связанности оказывается достаточно для того, чтобы ответ на вопрос об устойчивости из "почти наверняка устойчива" превратился в "почти наверняка неустойчива". Подобного рода экспериментальные исследования для более широкого класса динамических систем, описываемых нелинейными меняющимися во времени дифференциальными уравнениями, проведены Макридакисом и Фошо (S. Makridakis, C. Faucbenx. Stability properties of general systems // General Systems Yearbook. 1973). Некоторые свои результаты для разных случаев они представили в виде математических формул. Так, например, вероятность устойчивости произвольно выбранной системы описанного выше класса с n переменными задается функцией P(n)=e1 – 1.1n, что, как отмечают авторы, очень хорошо соответствует экспериментальным данным. Конечно, есть все основания рассматривать эту функцию как некий закон науки о системах.

Авторами настоящей статьи были проведены аналогичные исследования, но  применительно к линейным дискретным системам, имеющим общее описание вида xk+1=A×xk, где k = 0,1,2… – моменты дискретного времени; xk – вектор переменных состояния системы в момент k; A – матрица системы с постоянными элементами.

В вычислительном эксперименте, выполненном с помощью системы компьютерной математики Mathcad 13, для каждой пары параметров (n, Q), где n – порядок системы (размерность матрицы A); Q – ее связность (доля недиагональных ненулевых элементов матрицы системы); i.j-й недиагональный элемент матрицы системы генерировался с вероятностью (1-Q) как ноль и с вероятностью Q как случайное, равномерно распределенное число, принадлежащее интервалу (-1,1), то есть при :

,

а диагональные элементы матрицы (при i=j) генерировались как случайные числа с вероятностью 1, принадлежащие интервалу (-1,1), при этом система 1-го порядка всегда устойчива. Нули, таким образом, "разбрасывались" случайно, но так, чтобы диагональные элементы матрицы не были нулевыми, и в среднем по множеству повторений (при заданных n и Q) связность матрицы равнялась Q. Количество повторений подобных имитаций для каждой пары (n, Q) составляло 10000. Устойчивость для конкретной реализации определялась при помощи средств Mathcad обычным образом – система считалась устойчивой, если все собственные числа матрицы A находились в единичном круге. Для нахождения оценки вероятности устойчивости далее проводилось усреднение результатов. Полученные итоги моделирования отражены в таблице.

Вероятность (P) устойчивости системы (%) в зависимости от ее размерности и связности (для дискретных систем)

Приведенные результаты не противоречат известным и показывают, что реальные системы (а не учебные 3-го или 4-го порядков) практически всегда неустойчивы по Ляпунову, кроме ситуации, когда система состоит из не связанных между собой элементов (однако совокупность автономных элементов системой не является). Но какой же характер имеет такая неустойчивость?

Учитывая, что реально существующие физические системы большой размерности имеют в своем составе нелинейные элементы, например, типа зоны ограничения или насыщения и т.п., можно предположить, что процесс их неустойчивого движения не будет стремиться к бесконечности и вряд ли будет иметь гармонический или полигармонический характер. Скорее всего, такие системы находятся в  режиме странного аттрактора, то есть процессы в них представляют собой сложные непериодические колебания, детали которых очень чувствительны к малому изменению начальных условий, в то время как усредненные характеристики режима устойчивы и не зависят от начального условия (при его изменении в некоторой области). Из высказанного предположения вытекает, в частности, практическая невозможность долгосрочного динамического прогноза поведения рассматриваемых систем (примеры – невозможность долгосрочного прогноза погоды или стоимость барреля нефти и т.п.).

Общий вывод, который можно сделать из проведенного исследования, таков: динамические реально существующие в окружающем мире системы в большинстве случаев находятся не в равновесном состоянии и не в режиме предельного цикла, но совершают квазистационарные хаотические движения, что необходимо учитывать как на этапах их проектирования (если такой существует), так и на этапах их использования (эксплуатации).