Software & Systems

При анализе процессов различной природы применяется частотный анализ. Одним из его наиболее распространенных методов является преобразование Фурье. Этот метод подходит для анализа стационарных процессов, но при анализе нестационарных процессов он ограничен. В таком случае для анализа применяются частотно-временные методы, к которым относятся оконное преобразование Фурье, преобразование Габора, преобразование Вигнера–Виля, а также дискретное и непрерывное вейвлет-преобразования.

В рамках данной работы рассматривается непрерывное вейвлет-преобразование, коэффициенты которого определяются по следующей формуле:

                    (1)

где x(t) – случайный процесс; ψ(t) – выбранный базовый вейвлет; a ≠ 0 – параметр масштаба; b ≥ 0 – параметр сдвига [1–3].

Принимая во внимание то, что исследуемые данные являются дискретными, формула (1) преобразуется в следующие выражения:

– в случае с интегрированием методом прямоугольников:

,                         (2)

– в случае с интегрированием методом трапеций:

,              (3)

где N – число отсчетов исходного процесса.

При таком классическом подходе в вычислениях учитываются все отсчеты вейвлетов, что является избыточным. В работе [4] предложен алгоритм вейвлет-анализа временных рядов.

Данный недостаток можно устранить, используя характеристики вейвлетов.

Характеристики вейвлетов. Центр и эффективный радиус являются одними из характеристик вейвлетов во временной области [5–7]:

 – центр,

 – радиус,

где  – норма вейвлета.

В работах [8, 9] рассмотрены наиболее часто используемые вейвлеты. В таблице 1 приведены дан- ные характеристики вейвлетов Гаусса 1–8-го по- рядков, DOG-вейвлета и вейвлета Морле.

Используя данные характеристики, можно вычислить ширину окна вейвлета, необходимую для оценки коэффициентов вейлет-преобразования: wt = 8aDt, где a – параметр масштаба вейвлета.

Ширина вейвлета Гаусса 8-го порядка в зависимости от параметра масштаба показана на рисунке 1.

Алгоритм вычисления вейвлетов. Для вычисления значений вейвлетов с различным набором масштабов ai предлагается следующий алгоритм, основанный на знании описанных характеристик.

1.    Определить число отсчетов вейвлета, попадающих в ширину wt для текущего значения масштаба ai: , где ent[] – операция взятия целой части; Dt0 – интервал дискретизации вейвлета.

2.     Вычислить значения вейвлета:

, где .

3.    Повторить пункты 1 и 2 для каждого i-го масштаба.

Блок-схема данного алгоритма приведена на рисунке 2.

Алгоритм оценки коэффициентов вейвлет-преобразования временных рядов с регулярной дискретизацией. При вычислении коэффициентов преобразования численными методами данная формула представляет собой сумму произведений отсчета анализируемого процесса и масштабированного вейвлета. С учетом инвариантности вейвлетов относительно сдвига предлагается следующий алгоритм для оценки коэффициентов вейвлет-преобразования.

1.    Загрузить исходный процесс со значениями xk(tk), числом отсчетов N и интервалом дискретизации Dt:

2. Получить массив масштабов:

,

где i = 0, …, Na – 1; wmin – минимальная частота; Dw – интервал дискретизации частоты;

3. Рассчитать значения вейвлетов для всех масштабов a при сдвиге b = 0 по алгоритму, рассмотренному выше. В результате получается таблица значений масштабированных вейвлетов:

4. В зависимости от номера сдвига j и масштаба i сформировать индексы перемножаемых отсчета сигнала и масштабированного вейвлета из таблицы , где ni – число отсчетов i-го вейвлета; K – шаг сдвига.

5. Рассчитать значения коэффициентов вейвлет-преобразования, используя выражение (2) или (3):

6. Повторить пункты 4 и 5 для всех значений i и j.

На рисунке 3 представлена блок-схема алгоритма формирования индексов и вычисления коэффициента вейвлет-преобразования Wij.

Программный комплекс. Программный комплекс [10] был разработан на основе алгоритмов, рассмотренных в данной работе, и реализован на языке C# на платформе .NET. Структурная схема комплекса представлена на рисунке 4. Модуль получения исходного сигнала предназначен для генерации сигналов: детерминированных и случайных, равномерно и неравномерно дискретизированных, стационарных и нестационарных. Предложенные алгоритмы реализованы в модуле построения вейвлетов и вычислителе вейвлет-преобразования с регулярной дискретизацией. Модуль вычисления погрешностей предназначен для оценки погрешности расчета вейвлет-коэффициентов с помощью предложенных алгоритмов вейвлет-преобразования.

Экспериментальные исследования. Продемонстрируем работу алгоритмов с помощью разработанного комплекса программ. В качестве экспериментального сигнала используются синусоида с частотой 2 рад/c и вейвлет Гаусса 8-го порядка.

Для оценки ошибки вычисления каждого вейвлет-коэффициента определим приведенную погрешность полученных результатов:

, где W – точное значение коэффициента;  – оценка коэффициента.

Для сравнения скейлограмм вейвлет-преобразования введем следующую величину:

,

где  – оценка скейлограммы.

В таблице 2 приведены результаты сравнения алгоритмов оценки коэффициентов вейвлет-преоб- разования. Анализ графиков приведенной погрешности вычисления g, показанных на рисунке 5, каждого вейвлет-коэффициента показывает идентичность результатов, полученных с помощью разных алгоритмов.

Таблица 2

Сравнение алгоритмов

Table 2

Comparison of algorithms

В статье были приведены значения основных характеристик во временной области ряда базовых вейвлетов. Разработан алгоритм вычисления вейвлетов, а также оценки коэффициентов непрерывного вейвлет-преобразования. Показано, что предложенный алгоритм обладает лучшим быстродействием без значительной потери точности вычислений за счет сокращения числа умножений при вычислении коэффициентов.

Литература

1.     Прохоров С.А., Столбова А.А. Вейвлет-преобразование нерегулярных процессов без восстановления пропущенных отсчетов // Перспективные информационные технологии (ПИТ 2017): тр. Междунар. науч.-технич. конф. Самара, 2017. С. 154–156.

2.     Mallat S.A. Wavelet tour of signal processing. The sparse way. Elsivier, 2009, 805 p.

3.     Чуи Ч. Введение в вейвлеты; [пер. с англ.]. М.: Мир, 2001. 412 с.

4.     Витязев В.В. Анализ неравномерных временных рядов. СПб: Изд-во СПб. ун-та, 2001. 68 с.

5.     Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и при- меры применения // Успехи физических наук. 1996. Т. 166. № 11. С. 1145–1170.

6.     Cohen L. Time-frequency analysis: theory and applications. Prentice-Hall, NJ, 1995, 315 р.

7.     Короновский А.А., Храмов А.Е. Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения. М.: Физматлит, 2003. 176 с.

8.     Добеши И. Десять лекций по вейвлетам; [пер. с англ.]. Ижевск, 2001. 464 с.

9.     Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. М.: СОЛОН-Р, 2002. 448 с.

10.   Прохоров С.А., Столбова А.А. Программный комплекс для проведения вейвлет-анализа: свид. о гос. регистр. прогр. для ЭВМ. № 2015617561; заявл. 06.04.2015; опубл. 20.08.2015.

References
1.    Prokhorov S.A., Stolbova A.A. Wavelet transformation of even processes without reconstructing ignored samples. Perspektivnye informatsionnye tekhnologii (PIT 2017): tr. Mezhdunar. nauch.-tekhnich. konf. [Proc. Int. Sci. and Tech. Conf. Advanced Information Technologies (PIT 2017)]. Samara, 2017, pp. 154–156 (in Russ.).
2.    Mallat S.A. Wavelet Tour of Signal Processing. The Sparse Way. Elsivier Publ., 2009, 805 p.
3.    Chui Ch.K. An Introduction to Wavelets. Academic Press, NY, 1992, 266 p. (Russ. ed.: Moscow, Mir Publ., 2001,
412 p.).
4.    Vityazev V.V. Analiz neravnomernykh vremennykh ryadov [Analysis of Uneven Time Series]. St. Petersburg, St. Petersburg Univ. Publ., 2001, 68 p.
5.    Astafeva N.M. Wavelet analysis: basic theory and some applications. Uspekhi fizicheskikh nauk [Physics-Uspekhi]. 1996, vol. 166, no. 11, pp. 1145–1170 (in Russ.).
6.    Cohen L. Time-Frequency Analysis: Theory and Applications. Prentice-Hall Publ., NJ, 1995, 315 р.
7.    Koronovsky A.A., Khramov A.E. Nepreryvny veyvletny analiz i ego prilozheniya [Continuous Wavelet Analysis and its Applications]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2003, 176 p.
8.    Daubechies I. Ten Lectures on Wavelets. PA, USA, 1992, 357 p. (Russ. ed.: Izhevsk, 2001, 464 p.).
9.    Dyakonov V.P. Veyvlety. Ot teorii k praktike [Wavelets. From theory to practice]. Moscow, SOLON-R Publ., 2002, 448 p.
10.    Prokhorov S.A., Stolbova A.A. Programmny kompleks dlya provedeniya veyvlet-analiza [A software complex for wavelet analysis]. State registration certificate of a computer program. no. 2015617561, 2015 (in Russ.).