Software & Systems

Современные подходы к изучению напряженно-деформированного состояния тела с позиций математической теории упругопластических процессов основываются на совместном использовании данных экспериментальных исследований и численных методов расчета. На сегодняшний день среди численных методов большое применение при расчете конструкций и сооружений получил метод конечных элементов (МКЭ). Он требует значительных вычислительных затрат, поэтому его целесообразное применение невозможно без использования ЭВМ.

Решение задач теории пластичности, в том числе построение траекторий напряжений и деформаций в краевых задачах, связано с широким применением численных методов расчета, реализованных в программных комплексах на ЭВМ. В большинстве из них задачи теории пластичности решаются по деформационной теории. От того, насколько удачна данная модель и математический аппарат, реализующий ее в конкретной задаче, зависит достоверность получаемых результатов. Деформационная теория пластичности при исследовании влияния сложного нагружения не всегда может дать достоверные результаты, поэтому для решения рассматриваемых задач был составлен вычислительный алгоритм [1,2] на основе МКЭ с использованием теории упругопластических процессов [3-5].

На основе этого алгоритма в среде программирования Visual Basic 6.5 был создан программный комплекс для пошагового расчета краевых упругопластических задач МКЭ. Программный комплекс можно условно разделить на три подпрограммы: предпроцессор, расчетное ядро и постпроцессор.

Предпроцессорная часть является сервисной программой, ее функция – генерацией сетки конечных элементов (КЭ). Она предполагает ввод координат узлов, локальной и глобальной нумерации КЭ, задание закреплений узлов, скоростей узловых нагрузок, траектории нагружения, аппроксимации диаграммы простого нагружения материала  и других сопутствующих данных в память компьютера. КЭ сетка генерируется автоматически с разбиением тела равномерной сеткой треугольных КЭ. Выходными данными предпроцессора является промежуточный файл с информацией о расчетной модели, материале и программе нагружения.

Расчетное ядро выполняет пошаговый расчет введенной модели в соответствии с данными, сформированными постпроцессором. Выходными данными являются файлы, содержащие результаты расчета по каждому КЭ на каждом шаге по параметру прослеживания.

Алгоритм расчетного ядра после дискретизации рассматриваемой области совокупностью КЭ, нумерации узлов и элементов сетки КЭ можно представить в следующем виде.

Нулевой шаг – решение линейно-упругой задачи теории упругости при нулевой нагрузке. На этом этапе определяются начальные значения скоростей перемещений, деформаций и напряжений.

Шаг по параметру прослеживания (обобщенному времени) t разделен на несколько этапов.

1. Прогноз.

1.1.      Вычисление значений геометрической матрицы [B].

1.2.      В зависимости от достигнутого напряженно-деформированного состояния в каждом КЭ из аппроксимации диаграммы деформирования определяются значения модулей сдвига Gp и Gk.

1.3.      Вычисляется косинус угла сближения  и зависящие от него функционалы процесса P и N для каждого КЭ.

1.4.      Вычисляются упругопластические характеристики – компоненты матрицы [D].

1.5.      Формирование матриц жесткостей КЭ элементов и построение глобальной матрицы жесткости [K] системы алгебраических уравнений и вектора скоростей узловых сил . Вычисление глобальной матрицы жесткости производится методом непосредственного сложения жесткостей. Получаемая матрица жесткости является вырожденной, поскольку часть уравнений оказываются взаимно зависимыми.

1.6.      Учет граничных условий, при котором происходит корректировка глобальной матрицы жесткости [K], что приводит к невырожденной системе алгебраических уравнений.

1.7.      Решение системы линейных уравнений  методом Гаусса, определение прогноза вектора скоростей перемещений .

1.8.      Определение прогноза векторов скоростей деформаций  и напряжений .

1.9.      Определение прогноза векторов перемещений , деформаций  и напряжений  методом Эйлера-Коши.

2.   Коррекция. Выполняется аналогично прогнозу; при вычислении угла сближения используются значения векторов напряжений и скоростей деформаций, полученные при прогнозе.

3.   Повторная коррекция. Выполняется аналогично прогнозу; при вычислении угла сближения используются значения векторов напряжений и скоростей деформаций, используемые при коррекции. Таким образом, значения функционалов пластичности N и P на каждом шаге находятся и корректируются в зависимости от достигнутого напряженно-деформируемого состояния в каждом КЭ.

Переход к следующему шагу. Полученные на данном шаге значения векторов перемещений, деформаций, напряжений и их скоростей являются начальными значениями для следующего шага. Окончание расчета происходит при достижении параметром прослеживания t задаваемого конечного значения , то есть при достижении внешней нагрузкой конечного значения.

Постпроцессор обрабатывает результаты расчетов и представляет их в графическом режиме. Информация представляется в режиме реального времени в виде процесса деформирования рассматриваемого объекта, графиков траекторий напряжений (, , ) и деформаций (, , ), локальных (, , ) и глобальных (, ) диаграмм деформирования для заданных КЭ.

Программный комплекс позволяет варьировать видом аппроксимаций диаграммы деформирования материала и функционалов пластичности N и P, с помощью которых можно моделировать реальные процессы деформирования материалов и элементов конструкций. Сопоставление результатов расчетов с данными физических экспериментов дает информацию о том, как изменить вид аппроксимаций диаграммы деформирования и функционалов пластичности для получения достоверных расчетных результатов. Деформирование реальных конструкционных материалов при различных программах нагружения может быть с достаточной точностью описано в рамках этих аппроксимаций.

При создании программного комплекса использовались разработки и исследования кафедры сопротивления материалов, теории упругости и пластичности ТГТУ в области теории упругопластических процессов и собственные разработки авторов в области программирования.

Список литературы

1.   Субботин С.Л., Алексеев А.А. Численное решение плоской задачи теории упругопластических процессов методом конечных элементов // Сб. матер. VI междунар. науч.-техн. конф.: Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии. - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2005. - С. 53-54.

2.   Алексеев А.А. Алгоритм численного решения плоской задачи теории упругопластических процессов методом конечных элементов // Вестник ТГТУ. - Тверь: ТГТУ. - 2005. - Вып. 7. - С. 45-49.

3.   Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. - М.: Изд-во МГУ. – 1990. – 310 с.

4.   Зубчанинов В.Г. Математическая теория пластичности. - Тверь: ТГТУ, 2002. - 300с.

5.   Зубчанинов В.Г. Механика сплошных деформируемых сред. - Тверь: ТГТУ. - 2000. - 703с.