Software & Systems

Для общих условий постановки задачи известно, что предприятие производит ферросилиций трех марок: ФС75, ФС65 и ФС45.

Начальной стадией производства является выплавка. Для получения ферросилиция марки ФС75 используются открытые печи, а для марок ФС65 и ФС45 – печи любого типа. В наличии у предприятия имеется 10 открытых печей и 5 закрытых. Производительность открытых и закрытых печей одинакова и составляет: для ферросилиция марки ФС75–50 тонн в сутки; марки ФС65–60 тонн в сутки; марки ФС45–90 тонн в сутки;

По технологии, для каждой печи обязательна выплавка ферросилиция марки ФС45 непрерывно в течение 15 дней в квартал, все остальное время указанного периода может выплавляться ферросилиций любой марки (ФС75, ФС65, ФС45).

Следующей стадией производства является переработка, которая разбивается на дробление и фракционирование.

Фракционирование осуществляется по трем классам крупности: 50–100 мм; 10–50 мм; 0–15 мм.

Следует отметить, что переработка марок ФС65 и ФС45 производится на одном и том же узле поочередно, а ФС75 – на отдельной линии. Существующие мощности линий переработки выплавленной продукции лимитируются следующими величинами: для ФС75 – 330 физ. тонн в сутки; для ФС65 и ФС45 – поочередно в объеме не более 150 физ. тонн в сутки.

Указанные пропускные способности линий производства обусловливают границы допустимых значений для каждого вида выпускаемой продукции, что накладывает ограничения на пропускную способность всего производственного процесса.

Экономика производственного процесса может быть описана через следующие категории: себестоимость, прибыль, издержки производства, рыночная цена, объем производства (плановый и фактический).

Себестоимость продукции характеризует в денежном выражении все материальные затраты и затраты на оплату труда, которые необходимы для производства и реализации продукций. Величина этих затрат зависит от цен на ресурсы, необходимых для производства товара, а также от технологий их использования. В настоящее время самая высокая цена на электроэнергию, которая определяет себестоимость производства. Цена, по которой реализуется готовая продукция, не зависит от предприятия. Она определяется взаимодействием рыночного спроса и предложения на эту продукцию.

Предприятию на начало каждого отчетного периода известны лишь потребности покупателей на конкретный вид продукции (марка, класс крупности). Необходимо составить производственную программу для каждого вида продукции (в тоннах) за некоторый период (квартал), минимизирующую отклонения от запланированных объемов производства с учетом накладываемых ограничений на суточную пропускную способность печей, узлов дробления, а также необходимых условий технологии выплавки.

Задача может быть сформулирована следующим образом: требуется построить математическую модель, описывающую процесс производства ферросилиция.

Модель должна формализовать:

-   процесс вычисления требуемых объемов производства плана для формирования производственного плана;

-  критерий оптимальности (минимизация отклонения от производственного плана);

-  накладываемые ограничения, связанные с технологическими особенностями производственного процесса и непосредственно условиями производства.

Построение математической модели. Функция цели, согласно постановке задачи, будет иметь вид:

 где  – планируемые объемы выпуска продукции на период Т, (т);  – фактические объемы выпущенной продукции за период Т, (т);  – весовые коэффициенты, обусловливающие долевой вклад каждого вида продукции в прибыль организации;

Задача сводится к минимизации суммы квадратов разностей между планируемым и фактическим значениями объема выпуска за некоторый период Т.

Для построения математической модели примем следующие обозначения:

I – порядковый номер класса крупности, где i=1,2,3;

 – объем ферросилиция, требуемого для производства i-го класса крупности каждой из марок, (т);

 – имеющийся потребительский спрос на ферросилиций i-го класса крупности каждой из марок, (т);

 – план-график производства на t-й день для каждой из марок, (т);

 – среднее значение доли выхода по массе i-го класса крупности при дроблении ферросилиция марки ФС75,

 – среднее значение доли выхода по массе i-го класса крупности при дроблении ферросилиция марки ФС65,

 – среднее значение доли выхода по массе i-го класса крупности при дроблении ферросилиция марки ФС45,

T – отчетный период, (сут);

 – среднесуточная производительность печи по выплавке ФС75, ФС65 и ФС45, (т);

 – число печей, требуемых для выплавки ФС75, ФС65, ФС45 на конкретный момент времени t;

 – предельные значения суточных мощностей линий переработки, (т);

 – суммарный объем складируемой продукции, (т);

 – объем хранимого на складе ферросилиция каждой из марок, (т);

 – суммарный объем продукции, имеющейся на складе на начало расчетного периода, (т);

 – общая пропускная способность складских помещений, (т);

 – число открытых печей;

 – число закрытых печей;

 – общее число печей.

Решение задачи должно удовлетворять следующим ограничениям и условиям.

Ограничение 1.  Расчет величины объема выпуска каждой из марок ферросилиция, удовлетворяющей имеющемуся на планируемый период Т спросу на конкретный класс крупности этих марок:

для ФС75: ;

для ФС65: ;

для ФС45:

Ограничение 2.  Поиск максимального из вычисленных объемов выпуска, перекрывающего все имеющиеся виды спроса:  

Ограничение 3.  Расчет плана-графика по выплавке ферросилиция каждой из марок на основе вычисленных объемов выпуска:

для ФС75:

где число печей , требуемых для выплавки ФС75 в t-й день отчетного периода Т:

Для ФС65:

где

Для ФС45:

где

Расчет суммарных объемов выпуска продукции за период T:

Ограничение 4.  Ограничение на выплавку ферросилиция марки ФС45.

Для математического описания этого ограничения введем дополнительные обозначения:

– функцию :

– операторы  такие, что:

где в качестве аргумента x выступает функция .

Связь функции количества печей F(t) с функцией :

, ,

,

где N – суммарное количество открытых и закрытых печей.

Согласно условию задачи, каждая n-я печь в течение периода Т должна θ дней непрерывно выплавлять ферросилиций марки ФС45. Запишем это ограничение в виде:

.

Ограничение 5.  Ограничение на количество используемых печей. Количество используемых в t-й день печей не должно превышать общее число имеющихся на предприятии:

Ограничение 6.  Ограничение по пропускной способности линий переработки. Общий объем выплавляемой ежедневно продукции не должен превышать суточную пропускную способность его линий переработки:

Ограничение 7.  Ограничение по складированию продукции на хранение. Суммарный объем нереализованной продукции не должен превышать складских мощностей:

Значения весовых коэффициентов  рассчитываются как отношение прибыли, получаемой от реализации каждой из марок к их сумме:

где  – прибыль, получаемая от реализации продукции каждой из марок ферросилиция ФС75, ФС65, ФС45, (руб.).

В целях производственного учета издержки следует разделять на две основные категории.

1.              Постоянные (S0) издержки, величина которых не меняется в зависимости от объема производства. К ним относят амортизацию оборудования, арендные платежи, зарплату среднего и высшего звена управления и т.д. Постоянные издержки связаны с непосредственным существованием предприятия (даже в тех случаях, когда предприятие ничего не выпускает, они должны быть оплачены). 2.              Переменные (S1×IT) издержки, величина которых меняется в зависимости от изменения объема выпуска. К ним относят: сырье и материалы, электроэнергию, транспортные расходы, большую часть трудовых ресурсов и т.д.

Как правило, значительная часть составляющей переменных издержек приходится на потребляемую электроэнергию (Е), а также на основные исходные материалы: кварцит (K), углеродистые восстановители (Y) и стальную стружку (S):

где γ – затраты по использованию добавок легирующих элементов (хрома, марганца, алюминия, меди и других), транспортные издержки и прочее.

При выплавке ферросилиция марок ФС75, ФС65 и ФС45 в общем случае расходуется одинаковый объем исходных материалов, поэтому: Общая сумма издержек – это сумма постоянных и переменных издержек при данном объеме производства (S1×IT+S0).

Прибылью, по определению, называют разность между доходами и расходами производства. Поэтому прибыль от реализации продукции:

для ФС75:

для ФС65:

для ФС45:

где  – стоимость единицы выпущенной продукции, (руб.).

Разработанная математическая модель является базисом алгоритмического и программного обеспечения автоматизации процесса производства ферросилиция, внедряемого в настоящее время на ОАО «Кузнецкие ферросплавы» (г. Новокузнецк).