Software & Systems

Современный этап развития нашей страны характерен тем, что растущие потребности рынка, достижения науки и техники вызывают появление новых технологий, которые не столько расширяют, сколько усложняют, интенсифицируют деятельность в сфере производства. Поэтому особую актуальность приобретает решение задач по повышению эффективности современных систем управления, внедрению современных информационных технологий принятия решений на всех уровнях хозяйственного механизма. Сложность решаемых задач обусловила и появление сложных математических моделей, которые должны адекватно отображать сложность исследуемой системы управления и, прежде всего, ее многоцелевой характер. Отсюда следует, что в основе таких моделей должны лежать многокритериальные задачи оптимизации, и разработка эффективных методов их решения является важнейшей задачей системного анализа. В данной работе предлагаются многокритериальные постановки и соответствующий алгоритм решения актуальных задач, который, как нам кажется, должен стать ядром современных информационных систем бизнес-планирования и управления.

Задача оптимального проектирования и оптимальной комплектации

Цикл жизни любой системы (технической, экономической, информационной) состоит из ряда этапов, важнейшим из которых является этап проектирования. На этом этапе решается задача оптимального выбора состава и структуры создаваемой системы.

Таким образом, содержательная постановка задачи проектирования сложной системы приводит к возможности автоматизации этого процесса с помощью математических моделей векторной оптимизации. Назовем ее задачей оптимальной комплектации и приведем общий вариант ее возможной постановки [1].

Следуя методике функционально-стоимостного анализа, для оценки эффективности производится последовательная декомпозиция состава  проектируемой системы на определенное число уровней детализации в соответствии с  основными функциями , выполняемыми подсистемами и вариантами  их возможной реализации.

В общем случае иерархическая картина функциональной структуризации системы может выглядеть подобно изображенной на рисунке.

Будем считать заданными следующие характеристики проектируемой системы (способы их определения для конкретной задачи можно найти в [1]):  – значимость (вес) j-й функции i-го уровня;  – степень эффективности реализации j-й функции i-го уровня в q-м варианте;  – минимальное допустимое значение степени эффективности реализации j-й функции i-го уровня;  – затраты на осуществление j-й функции i-го уровня в q-м варианте реализации.

Тогда, если в качестве переменной выбора взять булеву переменную:

причем

,                                    (1)

то комплексный показатель эффективности функционирования всей системы Y определится как:

,                            (2)

где  – нормализующий коэффициент, необходимый для приведения разнородных слагаемых в (2) к безразмерному виду. При этом следует гарантировать минимально допустимую степень эффективности реализации отдельных функций, которая определяется техническим заданием:

.                     (3)

Другим важнейшим критерием для выбора окончательного варианта состава проектируемой системы является стоимостная оценка всего проекта С, которая в принятых обозначениях есть

.                                         (4)

Таким образом, математическая модель задачи оптимальной комплектации проектируемой сложной системы сводится к поиску наилучшей эффективности

                       (5)

при минимуме затрат

,                                   (6)

причем на переменные модели наложены ограничения (1) и (3). Очевидно, что полученная модель является дискретной задачей векторной оптимизации, и ее решение сможет дать гораздо более полную «картину проектирования», чем интегрированные показатели «затраты/качество», которые используются сейчас.

Задача оптимального выбора инвестиционного проекта

Пусть в общем случае один из m потенциальных инвесторов выбирает один из n инвестиционных проектов. Пусть также каждый из инвесторов оценивает основные параметры эффективности каждого проекта по своей методике. В качестве таких основных параметров используются четыре показателя инвестиционной эффективности (NPV (net present value) – чистый приведенный доход; PI (profitability index) – индекс рентабельности (доходности); PP (payback period) – срок окупаемости инвестиций; IRR (internal rate of return) – внутренняя норма доходности), методика расчета которых для конкретных схем реализации инвестиционных проектов хорошо известна [2]. Тогда все эти данные могут быть заданы четырьмя квадратными матрицами:

где  – номер инвестора, а  – номер проекта. Ясно, что только одновременный анализ по всем четырем показателям может дать объективную оценку эффективности капиталовложений. Недостатком же существующих методик является отсутствие такого подхода [2,3]. Если каждый проект может быть выбран только одним инвестором и каждый инвестор выбирает только один проект, учитывая все четыре параметра эффективности, то нас интересует такой из них, который бы одновременно удовлетворял условиям:

,                        (8)

,                            (9)

,                            (10)

,            (11)

где  – матрица булевых переменных выбора,,  – ставка приведения доходной части j-го проекта для i-го инвестора. Кроме того, необходимо задать ограничения по строкам и столбцам матрицы X:

, .                                           (12)

Задача (8)–(12) является многокритериальным аналогом задачи о назначениях и относится к классу задач дискретной векторной оптимизации. Решение даст возможность потенциальному инвестору сделать оптимальный выбор инвестиционного проекта, учитывая все показатели эффективности.

В данной работе предлагается алгоритм решения векторных задач, основанный на методе гарантированного результата и нормализации критериев (ГРНК) [4]. Он отличается от большинства других методов доказательством существования и единственности получаемого оптимального решения по Парето и тем, что его можно использовать для решения различных векторных задач (как линейных, так нелинейных и дискретных).

Пусть в общем случае поставлена задача векторной оптимизации:

,              (13)

где  – вектор переменных;  – вектор-функция критериев; ,  – векторы-функции ограничений;  – уровни ограничений. Причем,  – вогнутые и  – выпуклые функции, а область допустимых решений не является пустым множеством:

.

Тогда в соответствии с методом ГРНК необходимо следующее.

Шаг 1. Решить  задач скалярной оптимизации (известными методами математического программирования):  и  и найти и , .

Шаг 2. Выполнить единую нормализацию критериев :

 или .    (15)

Шаг 3. Построить – или –задачу:

 или .

Шаг 4. Решить – или –задачу как скалярную задачу оптимизации и найти единственную точку , оптимальную по Парето, в которой гарантируем результат:

или

.

Шаг 5. Зная величину нормализованного критерия в точке , по формулам (15) найти значения каждого критерия  

Кроме того, метод ГРНК позволяет решать векторные задачи с приоритетом некоторого критерия, выбранного ЛПР (лицом, принимающим решения) с целью улучшить его значение. При этом уровень приоритета, можно сказать, вычисляется с помощью коэффициентов приоритета, а не назначается ЛПР субъективно, как в подавляющем числе других методов решения векторных задач. Для решения векторной задачи с неравнозначными критериями необходимо в общем случае выполнить следующие шаги.

Шаг 6. Решаем соответствующую векторную задачу с равнозначными критериями. ЛПР проводит анализ результатов решения и по величине  определяет s-критерий, значение которого необходимо улучшить.

Шаг 7. Вычисляются пределы изменения коэффициента приоритета s-критерия по отношению к остальным:

,

где ,

,

,

, а координаты и  найдены на шаге 1.

Шаг 8. ЛПР выбирает необходимую величину  в установленных пределах и, если , строит – или –задачу в форме:

 или ,

решая которую как скалярную задачу оптимизации, находит точку компромиссного решения , где достигается результат:

или

.

Если , то, выбрав точно так же , необходимо построить – или –задачу в форме:

 или ,

решая которую как скалярную задачу оптимизации, можно аналогично найти точку компромиссного решения .

Шаг 9. Найти компромиссные значения каждого критерия  и  .

Таким образом, предлагаемый метод ГРНК, используя существующие способы решения задач скалярной оптимизации, может достаточно легко встраиваться в различные алгоритмы принятия решений и, по нашему мнению, должен стать основой современных информационных систем управления.

Список литературы

1.   Мезенцев Ю.А., Кириллов Ю.В. Некоторые аспекты задач оптимального проектирования при нескольких крите- риях предпочтения. //Сб. науч. тр. НГТУ, 2003.- №3. - С. 21-40.

2.   Четыркин Е.М. Финансовый анализ производственных инвестиций. – М.: Дело, 1998.

3.   Ковалев В.В. Методы оценки инвестиционных проектов. - М.: ФиС, 1998.

4.   Иванов Л.Н., Кириллов Ю.В. К вопросу о Парето-оптимальности решений задач векторной оптимизации // Сб. науч. тр. НГТУ, 2003. - №3. - С. 61-74.