Software & Systems

Обработка изображений стала одной из наиболее актуальных проблем, в рамках которой решается множество фундаментальных и прикладных задач. Широко распространенные пакеты прикладных программ (MATLAB, MATHCAD и др.) имеют в своем составе самостоятельные модули, позволяющие программно обрабатывать цифровые изображения.

Обработка изображений в различных программных системах осуществляется в два основных этапа: предварительная обработка и анализ (распознавание). На этапе предварительной обработки решаются такие задачи, как фильтрация (то есть подавление шумов, помех) и сегментация (то есть выделение контурных линий и информативных признаков).

Известно достаточно много методов фильтрации и сегментации изображений [1-11]. Столь широкое их многообразие определяется различными факторами возникновения шумов и помех, а также формами представления изображений. Например, известно [2, 3], что для фильтрации белого гауссовского шума наиболее подходят линейная или нелинейная медианная фильтрация, для подавления низкочастотной составляющей шума эффективны спектральные методы и вейвлет-преобразования [2], для фильтрации высокочастотной составляющей – цифровые фильтры [1], фильтрации фона – согласованные и винеровские фильтры [4] и т.д.

При всем многообразии новых методов обработки возникает проблема выбора решения для конкретной задачи, так как в большинстве случаев алгоритмы моделируются на простейших тестовых изображениях, и оценка их проводится визуально. Например, в [5] представлены результаты модифицированной медианной фильтрации на примере тестовых прямоугольников и треугольников, пятен произвольной формы, а также карт облачности, но нет строгой количественной оценки полученных результатов. В работе [6] приведены результаты моделирования пространственной фильтрации-сегментации без их математической оценки. В [7] также графически приведены результаты фильтрации-сегментации простейших тестовых изображений однослойной нейронной сетью без численного анализа. Строгая математическая оценка результатов обработки по предлагаемым алгоритмам отсутствует и в [8-10].

Таким образом, при всем многообразии новых методов фильтрации и сегментации изображений отсутствует строгий математический аппарат оценки их качества.

Цель работы – обоснование необходимости введения и выбор универсального целевого функционала для строгой математической оценки эффективности программных методов обработки изображений.

Рассмотрим задачу поиска комплексного целевого функционала для расчета многокри- териального показателя, объективно отражающего качество принципиально различных методов и алгоритмов фильтрации-сегментации изображений.

Количество критериев оценки должно соответствовать факторам возникновения шумов и помех, а также основным формам представления и описания изображений. Наиболее общими способами описания являются векторно-матричное представление и представление с использованием детерминированных или стохастических функций, а также на их основе структурное, признаковое и множественное представления [11].

Качество различных методов и алгоритмов целесообразно оценивать мерой близости (схожести) вектора изображения в k-мерном пространстве после фильтрации-сегментации с некоторым идеализированным (эталонным) вектором, который должен быть получен в результате идеального алгоритма. Размерность пространства , где ,  – соответственно число строк и столбцов изображения. Эталонный вектор изображения должен содержать только компоненты, относящиеся к контурным линиям (идеальная сегментация) и не содержать шумов (идеальная фильтрация).

Выбор целевого функционала

Шумы и помехи на изображениях могут быть отнесены к одному из факторов возникновения, кроме того, сами изображения характеризуются многообразием форм их представления и описания. Например, в работе [11] предложено классифицировать методы обработки изображений в соответствии с законом описания их характеристик.

Исходя из этого искомый комплексный целевой функционал может быть записан в виде матрицы определенной размерности, число элементов вектор-столбцов которой будут соответствовать количеству оцениваемых методов обработки, а число элементов вектор-строк – количеству целевых функций (для расчета отдельных критериев) в зависимости от факторов возникновения шумов и способов описания изображений.

Так, оценить эффективность фильтрации-сегментации в условиях белого гауссовского шума для векторно-матричного представления изображений можно путем определения дисперсии многомерных векторов изображений в k-мерном пространстве [3]. При этом вектор-столбец (транспонированная вектор-строка) дисперсии векторов изображений будет иметь вид:

,                               (1)

где  – нормированная на себя дисперсия исходного изображения с эталонным (равна единице);

 – нормированная дисперсия изображения, полученного обработкой исходного по первому из оцениваемых методов;  – нормированная дисперсия изображения, обработанного последним (-м) из оцениваемых методов;  – оператор транспонирования;  – исходное изображение (до обработки) размерностью ;  – эталонное изображение;  – изображение после обработки первым оцениваемым методом;  – изображение после обработки N-м методом. Эталонный вектор изображения  является требуемым, то есть он должен быть получен в результате работы идеального метода.

Для оценки в условиях фильтрации низкочастотного шума и детерминированным представлением изображений оптимальным будет определение величины расстояния в k-мерном пространстве непрерывных функций с квадратичной метрикой. При этом второй вектор-столбец (строка) примет вид:

,                                (2)

где  – нормированное на себя расстояние между исходным и эталонным k-мерными векторами изображений (единица);  –  нормированное расстояние изображения, полученного обработкой исходного по перво- му из оцениваемых методов от эталонного;  – нормированное расстояние изображения, обработанного последним (N-м) методом от эталонного;  – непрерывная функция исходного изображения;  – эталонного; ,  – соответственно непрерывные функции после преобразования -м и -м алгоритмами.

Фильтрация-сегментация при высокочастотном шуме, которая осуществляется цифровыми фильтрами [2] (как правило, в векторно-матричной форме изображений), оценима нахождением величины евклидова расстояния и угла между интересуемыми векторами в k-мерном пространстве. Вектор-столбец (строка) евклидовых расстояний примет вид [12]:

,                                (3)

где  – нормированное на себя евклидово расстояние между исходным и эталонным k-мерными векторами изображений (единица);

 – нормированное евклидово расстояние изображения, полученного обработкой исходного по первому из оцениваемых алгоритмов от эталонного;

 – нормированное евклидово расстояние изображения, обработанного последним (N-м) методом от эталонного.

Вектор-столбец (строка) угла между векторами примет вид:

,                                (4)

где  – нормированный на себя синус угла между исходным и эталонным k-мерными векторами изображений (единица);

 – нормированный синус угла между вектором изображения, полученным обработкой исходного по первому из оцениваемых методов и эталонным;  – нормированный синус угла между изображением, обработанным последним (N-м) методом и эталонным.

Оценка методов при фильтрации текстурных помех и представлении изображений стохастическими функциями осуществима определением степени тесноты линейной зависимости между функциями, что возможно путем вычисления коэффициента взаимной корреляции случайных векторов. Вектор-столбец (строка) будет определяться в соответствии с выражением:

,                              (5)

где  – обратная взаимная корреляция исходного с эталонным вектором;  – обратная взаимная корреляция вектора на выходе первого алгоритма с эталонным;  – обратная взаимная корреляция изображения, обработанного последним (N-м) методом с эталонным.

Оценка методов обработки изображений

Для примера с использованием выбранного комплексного целевого функционала, оценена эффективность двух различных методов фильтрации-сегментации полутоновых изображений, то есть N=2. Первый является классической медианной фильтрацией, которая достаточно эффективна при сглаживании белого гауссовского шума [3]. Второй базируется на применении однослойной нейронной сети, сущность которого изложе- на в [7].

Данными методами производилась обработка исходного тестового изображения размерностью 150´200 элементов, показанного на рисунке 1a, с ''зашумленной'' буквой ''А''.

Эталонным изображением для тестового (рис. 1a) будет являться показанное на рисунке 1b той же размерности.

Изображение, полученное обработкой по методу медианной фильтрации [3], показано на рисунке 2a, а изображение, полученное на выходе однослойной нейронной сети [7] – на рисунке 2b.

Для оценки эффективности методов в соответствии с выражениями (1-5) проведен расчет комплексного целевого функционала. Результаты приведены в форме, соответствующей (1-5):

.

Первая вектор-строка матрицы представляет собой нормированные на себя критериальные показатели (1-5), то есть несоответствие исходного изображения (рис. 1a) с эталонным (рис. 1b); вторая – критериальные показатели ошибки медианной фильтрации-сегментации [3] исходного изображения (рис. 2a); третья – показатели ошибки нейросетевого метода [7] фильтрации-сегментации (рис. 2b). Для удобства анализа результатов представим матрицу его значений графичес- ки (рис. 3).

На рисунке 3 по оси аргументов 1 соответствует дисперсии, то есть выражению (1); 2 – расстоянию в пространстве непрерывных квадратичных функций (2); 3 – евклидову расстоянию (3); 4 – синусу угла между векторами (4); 5 – обратной взаимной корреляции векторов в соответствии с (5). Из рисунка 3 видно, что различные критерии оценки двух алгоритмов дают разные их величины.

Таким образом, предложенный универсальный комплексный целевой функционал позволяет проводить строгую многокритериальную оценку эффективности самых различных методов обработки изображений. Согласно полученной математической оценке даже единственный алгоритм фильтрации и сегментации характеризуется различной эффективностью по отношению к факторам возникновения шумов и формам представления изображений.

Список литературы

1. Введение в контурный анализ и его приложения к обработке изображений и сигналов. / Под ред. Я.А. Фурмана. – М.: Физматлит, 2002. – 592 с.

2. Панин С.В., Шакиров И.В., Сырямкин В.И., Светла- ков А.А. Применение вейвлет-анализа изображений поверхности для изучения процессов пластической деформации и разрушения на мезомасштабном уровне // Автометрия. 2003. - Т. 39. - № 1. - С. 37-53.

3. Huang T.S. (ed.), Eklundh J.-O., Justusson B.I., Nussbaumer H.J., Tyan S.G., Zohar S. Two-Dimensional Digital Signal Processing II: Transforms and Median Filters (Sprinder-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1981).

4. Касперович А.Н. Фильтрация, обнаружение и локализация малоразмерных объектов, полученных при круговом субписельном сканировании изображений // Автометрия. - 2002. - Т. 38. - № 5. - С. 17-29.

5. Воскобойников Ю.Е., Колкер А.Б. Адаптивный алгоритм фильтрации и преобразование изображений в векторный формат // Там же. - № 4. - С. 3-11.

6. Клочко В.К., Ермаков А.А. Алгоритмы фильтрации и сегментации трехмерных радиолокационных изображений поверхности // Там же. С. 41-48.

7. Серпенинов О.В., Самойлин Е.А., Банников А.В. Нейропрограммный алгоритм предварительной обработки изображений в условиях шумов // Программные продукты и системы. - 2003. - № 2. - С. 17-19.

8. Бессарабов И.И. Использование ориентационной сегментации контуров с целью описания объектов на изображении в терминах отрезков // Автометрия. - 2002. - № 2. - С. 67-71.

9. Злобин В.К., Еремеев В.В., Васильев В.М. Стохастическая модель спутниковых изображений и ее использование для сегментации природных объектов // Там же. - С. 41-50.

10. Васюков В.Н., Голещихин Д.В. Восстановление полутоновых изображений на основе гиббсовского описания // Там же. - С. 58-66.

11. Соломатин И.И. Обзор методов предварительной обработки тоновых изображений для распознавания искусственных объектов // Изв. вузов. Приборостроение. - 1996. - Т. 39. - № 7. - С. 5-12.

12. Куринной Г.Ч. Математика: Справочник. - Харьков: Фолио; Ростов-н-Д.: Феникс, 1997. – 463 с.