Software & Systems

Рассмотрим систему с n входами  и 1 выходом y. Пусть  – базовое множество значений i-го входа,  (), , Y – базовое множество значений выхода системы (). Пусть  – множество, состоящее из всех нечетких подмножеств множества S,  – функция принадлежности нечеткого множества .

Пусть заданы нечеткие множества , , представляющие собой реальные значения входов . Задача заключается в определении выхода системы .

Рассмотрим правило modus ponens следующего вида.

Предпосылка:

Правило: :

Вывод:

Чтобы получать выход  с помощью modus ponens, можно воспользоваться методами вывода Заде, Болдуина или Цукамото.

В методе Заде (называемом прямым методом) правило  используется для представления нечеткого отношения  на . Вывод получается следующим образом:

, (1)

где  – Т-норма; ® – операция нечеткой импликации.

В методах Болдуина и Цукамото (называемых косвенными методами) сначала определяется нечеткое значение истинности антецедента  правила Hk относительно предпосылки , которое обозначается как , следующим образом (обратной оценкой истинности):

. (2)

Затем вычисляется нечеткое значение истинности для консеквента  правила Hk, которое обозначается как  и определяется из  и функции импликации. Наконец, вывод  определяется следующим образом (оценкой истинности):

. (3)

В методе Болдуина  определяется следующим способом:

. (4)

В методе Цукамото нечеткое значение истинности для высказывания «Если , то » при , которое обозначается как , определяется следующим образом:

 (5)

и  определяется следующим способом:

. (6)

Пусть зависимость между входами и выходом описывается нечеткими правилами «Если-то» следующего вида:

Hk: (7)

где k – номер правила в системе, , K – количество правил;  – количество конъюнктивных наборов в k-м правиле;  – нечеткое множество, представляющее собой значение лингвистической переменной i-го входа в k-м правиле, принадлежащее j-му конъюнктивному набору k-го правила, , ;  – нечеткое множество, представляющее собой значение выходной лингвистической переменной в k-м правиле.

Рассмотрим алгоритм решения поставленной задачи для правил вида (7) на основе метода вывода Цукамото в виде следующей последовательности этапов.

Агрегирование

Для k-го правила () вычислить нечеткое значение истинности  антецедента правила относительно известного входного значения :

где  – расширенная по принципу обобщенияТ-норма;  – расширенная по принципу обобщения S-конорма:

при ,,

где T – Т-норма; S – S-конорма. В качестве T и S можно использовать различные n-местные Т-нормы и S-конормы, например, минимум  и  максимум (операции логики Заде):

, . (8)

Если множества  являются одноточечными, то есть

, (9)

где  – четкое значение i-го входа,  (), то возможно применить следующую процедуру агрегирования. Если входы имеют одинаковую важность и в качестве Т-нормы и S-конормы используются операции логики Заде (8), то значение  находится по формуле:

. (10)

Если входы имеют различную важность, тогда функция принадлежности нечеткой степени истинности (10) имеет следующий вид:

, (11)

для , где  – весовые коэффициенты, выражающие важность входов в k-м правиле (), причем чем важнее i-й вход, тем больше его вес .

Активизация

Для k-го правила () вычислить нечеткое значение истинности консеквента , где  – нечеткое значение выходной переменной, полученное в результате нечеткого вывода по k-му правилу в отдельности.

 (12)

при , где ® – оператор нечеткой импликации;  – нечеткое значение истинности импликации; T – Т-норма. В этом случае нечеткий логический вывод соответствует косвенному методу вывода Цукамото.

Нечеткое значение истинности импликации  по умолчанию принимается истинным:

, при ,

где , при .

В этом случае нечеткий логический вывод соответствует косвенному методу вывода Болдуина.

Аккумуляция

Для k-го правила () вычислить нечеткое значение выходной переменной :

. (13)

Значение выходной переменной  по всей совокупности нечетких правил получить как результат применения операции пересечения нечетких множеств

. (14)

Если консеквент правила представлен в виде одноточечного множества, то есть

,

то нечеткое значение выходной переменной  можно рассчитать по формуле

. (15)

Аналогичным образом можно рассчитать нечеткое значение выходной переменной  и при использовании четких функций в консеквенте правила. Значение выходной переменной по всей совокупности нечетких правил в данном случае будет четким, его можно получить по формуле следующего вида:

. (16)

Дефаззификация

Четкое значение выходной переменной , если  не представлено одноточечным множеством или четкой функцией, получить как результат дефаззификации нечеткого множества .

Преимущество рассмотренного метода нечеткого вывода по сравнению с композиционным правилом вывода заключается в том, что вычисления переносятся в пространство нечетких значений истинности. Это позволяет уйти от предметной области и использовать универсальное представление для выражения таких вербальных понятий, как «истинно», «очень истинно» и т.п.

На основе данной системы нечеткого вывода можно построить нейро-нечеткую систему. Дальнейшие исследования связаны с разработкой специально адаптированного для данной задачи генетического алгоритма, с помощью которого реализуются процессы обучения и настройки нейро-нечеткой системы.