Software & Systems

Принятие управленческих решений – сложная процедура, комбинирующая как числовую информацию, так и информацию на естественном языке, который, однако, имеет неточности и неопределенности. Продемонстрируем использование интегрированного метода, включающего анализ нечетких тенденций (НТ) и F-преобразования в рамках ориентированного на восприятие логического вывода. Принятие решений на основе логического вывода по правилам включает в себя в реальных ситуациях анализ временных рядов (ВР), в том числе нечетких (НВР). Сглаживающие свойства F-преобразований позволяют выделить тренд ВР, а распознавание НТ – принять решение на основе правил о влиянии динамики рассматриваемого процесса на результат.

F-преобразование

Нечеткое преобразование (F-преобразование) – методика, разработанная И. Перфильевой [1], которая может быть отнесена к методикам нечеткого приближения. Она работает с непрерывной функцией f, определенной на интервале действительных чисел  F-преобразование может быть использовано, помимо остальных случаев, для приближения f с достаточной точностью и для фильтрации ее возможного шума.

Предположим, что функция f известна в точках . Делим интервал w на множество равноудаленных узлов , где  фиксированной длины. F-преобразование имеет две фазы: прямое и обратное F-преобразование.

Прямое F-преобразование

Определим n базисных функций , которые покрывают w, и разделим его на n неясных областей. Базисная функция должна удовлетворять следующим условиям:

1)  ,;

2)  , где мы формально полагаем ;

3)   непрерывна;

4)   монотонно возрастает на  и монотонно убывает на ;

5)   для всех .

Введем преобразование f→. Используя базисные функции, преобразуем данную функцию f в кортеж из n действительных чисел , определенных следующим образом:  .

Обратное F-преобразование

Результатом прямого F-преобразования является вектор из чисел . Это множество содержит информацию об оригинальной функции f, преобразование →f может быть использовано, чтобы получить функцию  .

Можно доказать, что при возрастании n  сходится к . Ясно, что функция  непрерывна.

F-преобразование имеет (кроме прочих) прекрасные фильтрующие свойства; легкая вычисляемость; стабильность относительно выбора точек . Это означает, что при выборе других точек  (и, возможно, при изменении их числа N) результирующая функция  значительно не меняется. Отметим, что это неверно для многих классических численных методов.

Подробное формальное описание F-преобразования, включая необходимые теоремы, можно найти в [1].

Анализ НВР

НВР – упорядоченная последовательность наблюдений над неким явлением, состояние которого изменяется во времени, если значение состояния в момент  выражено с помощью нечеткой метки  (лингвистической оценки) [2]. Источником НВР могут выступать хранимые в базах данных или вычисленные лингвистические оценки, упорядоченные в последовательные промежутки времени, а также числовые данные, образующие числовые ВР Y=(xi,ti), где i=1..n, n – количество членов ряда. Для фильтрации шумов к числовым ВР целесообразно применить технику F-преобразования, а затем процедуру фаззификации. Это представимо в виде следующей последовательности преобразований исходного ВР в НВР: (xi,ti)→→→→(,), где  – F-преобразование;  – функционал фаззификации.

НТ НВР будем называть нечеткую метку Tj, выражающую характер изменения (систематическое движение) НВР: =Tend(,), где iÎ[1,n]; n – количество членов НВР. Нечеткая метка Tj соответствует лингвистической оценке, и ее вычисление зависит от реализации функционала Tend(,). Рассмотрим реализацию определения Tj на основе модели НТ.

НТ t может быть выражена моделью следующего вида: t=<µ,n,a,∆t>, где t – наименование тенденции (идентификатор); µ – функция принадлежности тенденции t участку ВР, ограниченного ∆t; n – тип тенденции; a – степень изменения, интенсивность тенденции; ∆t – продолжительность данной тенденции.

В классе НТ будем различать элементарные, однородные (неоднородные) и общие тенденции.

Элементарная тенденция (ЭТ) – НТ НВР t, выражающая характер изменения на участке НВР между двумя соседними нечеткими метками НВР , . Для вычисления ЭТ введем функционал ETend, такой, что ti=ETend(,), iÎ[1,n-1]; n – количество членов НВР.

Введем функционал STend, вычисляющий результат объединения однородных тенденций, такой, что tj=STend(ti,ts), где ti=(µi,ni, a i,Dti), ts=(µs,ns,a s,Dts), и ns=ni.

Назовем общей тенденцией НТ, которая будет характеризовать поведение НВР на всем участке наблюдаемых значений. Для вычисления общей тенденции введем функционал GTend объединения НТ следующим образом. Пусть ti=(µi,ni,ai,Dti), ts=(µs,ns,as,Dts) являются неоднородными НТ. Тогда объединение tj=GTend(ti,ts) есть такая НТ tj=(µj,nj,aj,Dtj), для которой nj=ni¤ns, aj=ai¤as, µj=µi¤µs; длительность Dtj=Dti+Dts; ¤ – знак операции соединения тенденций.

На основе введенных функционалов определим процедуру идентификации НТ Tend(,) НВР как свертку ЭТ в лингвистическую оценку поведения НВР в виде алгоритма следующего вида: ETend(,)→STend(ti,ts)→GTend(ti,ts)→Tj.

Процедура идентификации общей тенденции НВР включает следующие этапы: определение элементарных базовых тенденций, идентификация их типов и интенсивностей; объединение однородных ЭТ в базовые группы; определение общего типа НТ на основе анализа интегрированного показателя базовых групп и оценки степени принадлежности базового типа исходному ВР.

Пример использования интегрированного метода принятия решений

Продемонстрируем использование нового метода на модели комплексной задачи принятия решений, аналогичной задачам, возникающим в реальной жизни. Основным инструментом являются программная система LFLC 2000, разработанная в Университете г. Острава (Республика Чехия), и модуль FUTS, разработанный в УлГТУ (г. Ульяновск).

В примере моделировалась следующая ситуация принятия решения: «Небольшая фирма должна решить вопрос о приобретении нового автомобиля на основе лизинга. Решение зависит от экономического развития фирмы и ряда показателей (параметров), которые в численной форме затруднительно получить».

Анализ исходной ситуации позволяет выявить две проблемы: проблему оценки экономической целесообразности замены старого авто и проблему выбора лизинговой компании в случае положительного решения первой. Рассмотрим технологию принятия решения по каждой из проблем.

Оценка экономической целесообразности замены старого авто

Экономическую целесообразность замены авто будем оценивать по затратам на содержание и по уровню его надежности. При этом в качестве исходных данных рассмотрим ежеквартальные оценки указанных показателей, полученные за 4 года. Такие оценки образуют ВР, относящиеся к классу НВР, поведение которых моделируется НТ. Использование понятной лингвистической интерпретации характера динамики НВР в виде НТ совместно с текущими оценками состояния затрат и надежности авто позволит принять более обоснованное решение об экономической целесообразности замены старого авто.

Пусть имеются два ВР, полученных на основе ежеквартальных отчетов за 4 года: Xt, Nt, где Xt определяет ежеквартальные затраты на содержание авто с момента его аренды по текущий период; Nt определяет ВР уровня надежности авто на основе субъективных оценок водителей этого авто; tÎ[1,p]; p – количество наблюдений ряда.

Для учета тенденции развития показателей необходимо идентифицировать их по исходным НВР и дополнить правила принятия решения лингвистическими выражениями вида: «Если стоимость содержания растет, а надежность авто падает, то экономическая целесообразность боль- шая» и т.д.

Лингвистические выражения НВР позволяют оценивать между двумя последовательными значениями любого НВР тип изменения, сущность которого может быть выражена в терминах типов НТ, таких как Inc (Рост), Dec (Падение), Ze (Стабильность). В то же время для каждого типа тенденций (изменений) можно задать контекстное расширение (определяемое динамикой конкретного НВР), связанное со степенью выраженности изменения, которое образовано квалификаторами Bi (Большой), Me (Средний), Sm (Малый) и модификаторами, такими как Ve (Очень), Si (Значительно), No (Не). Значения степени выраженности изменения представимы упорядоченными нечеткими множествами, образующими нечеткую шкалу порядка с отношением, аналогичным Rxy.

При решении данной задачи по принятию решения об экономической целесообразности замены старого авто будем использовать ориентированный на восприятие логический вывод.

Правила первого уровня (слоя) на основе функционала ETend(,), i[1,n-1], вычисляют лингвистические выражения, определяющие типы и интенсивности ЭТ, обнаруженных в НВР. При этом формируются ВР типов и интенсивностей ЭТ TTendt и RTendt.

Правила второго уровня анализируют полученные ВР для определения степени принадлежности НТ, выражающих Inc и Dec НВР, при этом используется операция объединения однородных НТ STend(ti,ts). Приведем обобщенный вид правил второго уровня.

Третий уровень правил позволяет определить общую тенденцию анализируемого НВР на основе функционала GTend(ti,ts):

Поскольку технология идентификации тенденции Tend(N) для НВР, представляющего ряд оценок надежности авто Nt, и система правил аналогичны, опустим их представление и сразу сформируем заключительный уровень правил, которые и позволят вывести степень экономической целесообразности:

Добавим, что при идентификации НТ желательно, чтобы ВР был предварительно сглажен на основе F-преобразования.

Выбор лизинговой компании

Решение второй проблемы – выбор лизинговой компании и марки нового авто – основывается на следующих параметрах (характеристиках): экономическое развитие компании (прибыль за 4 года), для анализа которого используем методику F-преобразования, и затраты на содержание старого авто, его надежность, которые проанализируем методом НТ.

Предложение лизинговой компании оценим с различных точек зрения. Важная информация: кредитоспособность лизинговой компании; дополнительные предложения (например, страхование автомобиля как часть платежей и т.д.); авансовый платеж, ежемесячная плата и общие излишние платежи. Моделирование принятия решения в такой ситуации является многокритериальной задачей, в которой варианты решения зависят от указанных параметров (показателей). Для получения решения определим иерархический набор подзадач.

Оценка экономического развития

Дан ВР , где  – длина ВР. Его члены могут быть разбиты на тенденцию  и остаток , , то есть . Остаток включает внешние экономические влияния (болезнь сотрудников, отказ оборудования и т.д.). Берем глобальную тенденцию как решающую для оценки экономического развития. Она задается последовательностью .

Удобная методика для нахождения тенденции – F-преобразование. Кроме тенденции, оно позволяет включить сезонные влияния (путем изменения числа узлов). Полагается, что ВР имеет периодичность в 1 месяц.

Чтобы оценить экономическое развитие, используем ориентированный на восприятие логический вывод. Наблюдаемая величина (восприятие) – междугодичное различие тенденций экономического развития, то есть , где  – годичная периодичность, производная от месячной периодичности.

Лингвистическое описание имеет форму:

где  – общее число лет в данном ВР и  – оценочные лингвистические выражения. Переменная V – безразмерная характеристика, принимающая значения , выражающая меру, в которой экономическое развитие удовлетворительное. Если , тогда оно чрезвычайно хорошее, если , тогда оно критическое. Оценка лизинговых предложений – частная характеристика данного варианта. Используем лингвистическое описание вида

где  – безразмерная характеристика лизинговой компании.

Примечание: Нечеткие значения критериев выбора в столбцах «Представимость», «Глобальная оценка», «Увеличение прибыли», «Риск», «Другие» получены на основе ориентированного на восприятие логического вывода. Мы использовали следующие сокращения: Sm (small) – малый; Me (medium) – средний; Bi (big) – большой; Ve (very) – очень; Ro (roughly) – приблизительно; ML (more or less) – более или менее; QR (quite roughly) – довольно приблизительно; VR (very roughly) – очень приблизительно.

Эта информация характеризует компанию, например, на основе ее размера, опыта знакомства (работы) с ней и т.д. Данная величина также может быть получена на основе специального лингвистического описания, включающего много критериев, имеющих как объективный, так и субъективный характер. Ясно, что эту величину можно проигнорировать (например, если сде- лать ).

Результаты демонстрационного примера представлены в таблице, столбцы соответствуют критериям выбора, значения которых определяются ориентированным на восприятие логическим выводом (подробнее см. [3,4]). Согласно глобальной оценке, наилучший выбор – купить новый автомобиль.

Таким образом, приведенный пример показывает, что модели с использованием интегрального метода F-преобразований и НТ результативны для принятия решений в условиях многокритериальной ситуации выбора.

Список литературы

1. Perfilieva I. Fuzzy transforms: Theory and applications, Fuzzy Sets and Systems, Vol. 157, 2006.

2. Ярушкина Н.Г. Основы теории нечетких и гибридных систем. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 320 с.

3. Новак В., Перфильева И., Мочкорж И. Математические принципы нечеткой логики. / Пер. с англ.; Под ред. А.Н. Аверкина. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.

4. Новак В. Применение интегрального метода анализа нечетких временных рядов и функционального моделирования в задаче выбора лизинговой компании. // Тр. Одиннадцатой нац. конф. по искусствен. интел. с междунар. участ. (КИИ-08). – Дубна, 2008.