Software & Systems

Оптимальный метод обобщенного оценивания информационных процессов (ИП) в условиях мультиструктурных помех (МП) на основе несмещенности и инвариантности развит в работах [1,2]. При этом под обобщенным понимается оценивание различных числовых характеристик ИП, например, коэффициентов сглаживающего полинома, производных различных порядков в некоторых точках наблюдения, определенных интегралов и т.д. В свою очередь, под МП понимаются кусочно-непрерывные помехи, принадлежащие множеству возможных детерминированных структур со случайными коэффициентами.

Предложенный в [1,2] подход ограничивался случаем, когда переключения МП с одной структуры на другую осуществляются в строго фиксированные моменты времени. Однако практика показывает, что такое ограничение весьма жесткое и является, скорее, исключением, чем правилом, при решении конкретных прикладных задач, связанных с обработкой измерений.

В настоящей работе дано дальнейшее развитие подхода на случай, когда известны лишь отдельные временные области, принадлежащие интервалу наблюдения и подозрительные на предмет переключения МП с одной структуры на другую (в дальнейшем такие области будем обозначать аббревиатурой ОМП). Очевидно, что современные теоретический и математический аппараты (например спектральный) позволяют с высокой надежностью регистрировать ОМП.

В работе также показаны возможности использования принципов мультиструктурности и инвариантно-несмещенного принципа оценивания к решению задачи маскирования ИП на базе мультиструктурных маскирующих сигналов (ММС). Данная задача чрезвычайно актуальна [3–6] и в развиваемом методе получила комплексное решение в рамках единой задачи маскирования-оценивания в условиях, когда измерения, помимо ИП, содержат МП, ММС и флуктуационный шум (ФШ).

Пусть на отрезке  наблюдается скалярная смесь  полезного ИП x(t), МП h(t), ММС s(t) и ФШ x(t):

 ,                     (1)

где    ,  .

ИП x(t) задается в виде:

, ,              (2)

где  – вектор неизвестных коэффициентов;  – вектор линейно независимых функций на отрезке  (базис ИП).

Для описания МП h(t) воспользуемся следующей моделью:

, , (3)

где  – вектор случайных коэффициентов с неизвестным законом распределения;  – основной базис МП;  – число  , каждая точка  которых подозрительна на предмет переключения структур МП;  – вектор случайных коэффициентов, соответствующих вспомогательному базису МП  :   ,  ;  – индикатор переключения структур МП в точке  ( при смене структуры и  в противном случае);  – набор линейно независимых функций.

Для  справедливо:       то есть число точек, подозрительных на смену структуры МП, много меньше общего числа измерений.

Если в (3) все индикаторы , получаем распространенную на практике модель МП: .

По аналогии с (3) ММС выберем таким:

 , (4)

где  – вектор случайных коэффициентов с неизвестным законом распределения;  – основной базис ММС;  – число областей с возможной сменой структуры ММС ( );  – вектор случайных коэффициентов, соответствующих вспомогательному базису ММС  :   ;  – индикатор случайного переключения структур ММС, аналогичный ;  – набор линейно независимых функций.

Полагаем     .

ФШ x(t) характеризуется нулевым математическим ожиданием и соответствующей корреляционной матрицей , где .

По аналогии с [1,2] введем над ИП  оператор вида: , такой, что  , , то есть рассматривается оператор со значениями в вещественном пространстве . Данный оператор ставит в соответствие каждому ИП x(t) набор числовых характеристик (например, коэффициентов модели (2), производных различных порядков  в некоторых точках отрезка , определенных интегралов  на отрезке  и т.д.). То есть речь идет об обобщенном оценивании [1,2].

Требуется найти оптимальный оператор , такой, что его значения   близки к значениям исходного оператора .

Для выяснения смысла оптимальности введем следующие обозначения: , , , , .

Оператор  будем искать в виде матрицы  линейного преобразования, то есть  , где  – матрица неизвестных коэффициентов. Корреляционная матрица данной линейной оценки с учетом принятой модели случайного вектора  находится по правилу:

.                                                    (5)

Под оптимальной оценкой  будем понимать такую оценку, которая обеспечивает минимизацию следа  матрицы Kz, выполнение условия несмещенности оценки (), условия инвариантности к МП () и условия инвариантности к ММС (), где  – нулевой вектор-столбец размерности ;  , , .

Требуется найти матрицу , соответствующую оптимальной оценке , чтобы данная матрица обеспечила компенсацию МП и ММС (демаскирование) и оптимальное оценивание значений оператора .

Введем следующие обозначения:  ,  где   – расширенный вектор случайных коэффициентов МП,   – расширенный вектор случайных коэффициентов ММС,   – расширенная базисная матрица МП,   ; ,  – расширенная базисная матрица ММС,    , ,  .

Матрица  имеет размерность , где , а матрица  – размерность , где .

Переходим к векторно-матричной записи, имея следующие модели:   – уравнение наблюдения;  – ИП (где  – базисная матрица ИП);  – МП плюс ММС.

Принимая во внимание (2), имеем  , откуда вытекает следующее условие несмещенности:

,                                (6)

где  ;  – нулевая матрица размером .

Аналогично для условия инвариантности к МП и ММС  вытекает окончательное условие инвариантности:

,                                                  (7)

где .

В дальнейшем предполагается, что неоднородная система уравнений (6), (7) совместна.

Задача отыскания оптимальной матрицы Pz решается методом множителей Лагранжа, то есть ищутся независимые минимумы скалярных функций:

         (8)

,

где  и  – векторные множители Лагранжа, соответствующие ограничениям оптимизационной задачи,  – r-я строка матрицы .

Решение оптимизационной задачи (8) имеет вид:

,                   (9)

где ,  – единичная матрица размерности ; .

Соответственно, для искомой матрицы  обобщенного оценивания с учетом (9) имеем

,               (10)

где .

С учетом (5) и (10) находим выражение для корреляционной матрицы искомой оценки :

,                 (11)

где .

Необходимыми и достаточными условиями существования и единственности решения (10) задачи обобщенного маскирования-оценивания являются: наличие ненулевых матриц в правой части (11); существование обратных матриц , ; совместность системы линейных уравнений, отвечающей условиям несмещенности (6) и инвариантности (7) при достижении максимального ранга , равного числу неизвестных коэффициентов в моделях ИП (2), МП (3) и ММС (4); выполнение неравенства  , что обеспечивает появление эффекта сглаживания флуктуационных ошибок .

В первом приближении вероятность  неправильного демаскирования ИП со стороны лица, не допущенного к передаваемому сообщению (ЛНПС), можно оценить следующим образом. Введем события  и  (), заключающиеся в правильной идентификации со стороны данных лиц слагаемых  и  соответственно в модели ММС (4) по результатам измерений (1). Тогда событие  состоит в правильном демаскировании ИП, при этом его вероятность .

Полагая события  и  независимыми (для всех , ), получаем  .

Если принять ,  , , то .

В итоге для вероятности неправильного демаскирования ИП имеем формулу:

.        (12)

Прибегнув к традиционному способу маскирования, при котором  () стягиваются в точки (то есть ), получим:

.                                           (13)

Из формул (12) и (13) следует, что при увеличении параметра Ds (то есть при расширении областей ММС) вероятность неправильного демаскирования со стороны ЛНПС возрастает.

Анализ формулы (10) показывает, что в частном случае оценивания коэффициентов модели (2) и в отсутствие ММС получается матрица Pz, соответствующая классическому методу наименьших квадратов. Если по условию задачи известны моменты переключения структур МП, то ОМП стягиваются в точки, при этом матрица (10) преобразуется в известную матрицу обобщенного оценивания числовых характеристик ИП.

Развитый метод не требует расширения пространства состояний при решении комплексной задачи маскирования-оценивания, что является характерным для традиционных подходов к ее решению.

Список литературы

1.  Булычев Ю.Г., Елисеев А.В. Алгоритм обработки измерений при кусочно-непрерывной помехе. // Теория и системы управления. – 2007. – № 2. – С. 57–64.

2.  Булычев Ю.Г., Елисеев А.В. Модифицированный метод наименьших квадратов в обобщенно-инвариантной постановке. // Проблемы управления и информатики. – 2006. – № 6. – С. 71–83.

3.  Голод В.В., Чернышов В.И., Шулика В.Д. Модель специального преобразования информации в защищенных инфокоммуникационных системах. // Программные продукты и системы. – 2006. – № 4. – С. 34–37.

4.  Мельников В.В. Безопасность информации в автоматизированных системах. Альтернативный подход. // Защита информации. – 2005. – № 6. – С. 40–45.

5.  Карпов А.В. Задача адаптации системы защиты информации от несанкционированного доступа. // Программные продукты и системы. – 2005. – № 4. – С. 52–53.

6.  Большов О.А. Синтез оптимальной помехи для маскирования речевого сигнала. // Радиотехника. – 2001. – № 3. – С. 62–68.