Software & Systems

Критические явления в экономике представляют большой интерес, поскольку они обусловлены структурой экономической системы и характерными процессами ее динамики. Их изучение позволяет выявлять природу и наиболее важные элементы их структуры. В критических областях значений параметров характерны существенно нелинейные зависимости этих параметров.

Дальнейшее изложение будем вести на примере валютного кризиса 1998 года, оказавшего существенное влияние на состояние российской экономики.

Дефолт 1998 года был одним из самых тяжелых экономических кризисов в истории современной России. В значительной степени он стал итогом следования указаниям МВФ, которые не отвечали интересам России [1,2].

Основными причинами дефолта были огромный государственный долг России, низкие мировые цены на сырье, составлявшее основу экспорта России, а также популистская экономическая политика государства и строительство пирамиды ГКО (государственные краткосрочные обязательства).

Собственно датой дефолта является 17 августа 1998 года. Его последствия серьезно повлияли на развитие экономики и страны в целом как отрицательно, так и положительно. Курс рубля по отношению к доллару упал за полгода более чем в 3 раза – c 6 рублей за доллар перед дефолтом до 21 рубля за доллар к 1 января 1999 года. Было подорвано доверие населения и иностранных инвесторов к российским банкам и государству. Разорилось большое количество малых предприятий, лопнули многие банки. Банковская система оказалась в коллапсе как минимум на полгода. Население потеряло значительную часть своих сбережений, упал уровень жизни. Тем не менее, девальвация рубля позволила российской экономике стать более конкурентоспособной.

Фрактальный подход к описанию валютного кризиса 1998 года был развит в работе [3]. В этом подходе тангенс угла наклона графика линейного тренда на определенном временном участке является функцией фрактальной размерности D X=X(D). Причем с приближением D к критическому значению Dk X(D) возрастает на несколько порядков. На участках, удаленных от кризисных, X(D) хорошо аппроксимируется линейной функцией X(D)»K(D-D0) (К – постоянный коэффициент). Вблизи кризиса X(D) ведет себя уже как .

В данной работе предлагается нелинейная аппроксимация для X(D) из двух функций, которая хорошо приближает X(D) как при , так и при :

.             (1)

Если , используем линейную аппроксимацию

.                                 (2)

Параметры D0, Dk и K (1) и (2) входят так, что в точке , и  гладко сшиваются:

.        (3)

Параметры модели D0, Dk и K находятся из условия минимума функции  (метод наименьших квадратов):

     (4)

где D=D+>D0 и D=D–  – число временных отрезков с D >D0; N- – число временных отрезков с D

Из условия минимума (4) имеем:

.                                  (5)

Если число рассматриваемых участков ≤2, можно получить , если

                      (6)

.

Валютный курс с определенной для характерных отрезков фрактальной размерностью на временном отрезке перед и в момент кризиса 1998 года представлен на рисунке 1.

Интерес представляют участки с t1=25 апреля 1998 г., t2=17 августа 1998 г., t3=15 сентября 1998 года. Соответствующие значения  равны , а значения фрактальных размерностей . При этом мы учли эффект запаздывания реакции системы на изменение D вблизи кризиса [3], заменой D0→Di-1 D0 надо выбирать из условия D0<1,2,Dk, и К вычисляются из системы уравнений (6). При этом K=K(D0) и D=Dk(D0).

Для решения системы (6) составим программу в системе символьных вычислений MAPLE на основе регуляризованного метода Ньютона [4]. С этой целью запишем столбец с неизвестными в виде одной векторной функции :

+                                                 (7)

Систему (6) перепишем в виде:

;

.           (8)

Или .                                                        (9)

Для численного решения (9) будем использовать регуляризованный аналог метода Ньютона [4] с параметром регуляризации . В результате имеем следующую итерационную схему:

             (10)

где n – номер итерации;  – итерационный параметр; q0¹0 – малая величина; f¢(xn) – матрица Якоби; f¢ – транспонированная матрица Якоби.

Величина  представляет невязку и определяет точность решения системы (9), которая в нашем случае составила .

Рис. 1. Динамика курса американского доллара по отношению к рублю и фрактальная размерность в течение 1998 года до августовского кризиса

Программа расчета по схеме (10) реализована в рамках пакета символьных вычислений MAPLE. D0 задавались в интервале .

Графики полученных решений представлены на рисунках 2 и 3.

Также интересно найти зависимость Dk–D0 от выбора D0. Ее представим на рисунке 4.

При изменении D0 в пределах 1,21≤D0≤1,24 значение коэффициента K изменяется очень слабо – 0,014 руб./день £ К £ 0,025 руб./день. Эти значения достаточно хорошо согласуются со значением К при анализе других временных интервалов [3]. В данной работе К был определен как 0,014 руб./день.

Рис. 4. Зависимость разницы Dk–D0 от D0

В районе значений 1,24≤D0≤1,26 К начинает быстро расти от 0,025 руб./день до 0,050 руб./день. При изменении D0 на 0,01 со значения 1,26 К круто возрастает до 0,1. Среднее значение К оказалось в нашем случае 0,032 руб./день. В отличие от К значение Dk практически не меняется в рассматриваемом диапазоне значений D0, оно изменяется примерно на 0,002. Представляет интерес поиск среднего значения диапазона Dk –D0. Среднее значение Dk –D0≈0,42.

Это очень важный показатель для фрактальной модели. Примерно на эту величину должна измениться фрактальная размерность системы, чтобы из стабильного состояния она перешла в кризисное.

Результаты работы могут быть весьма полезны при анализе и прогнозе состояния валютного курса американского доллара по отношению к рублю в настоящее время, поскольку достаточно широко и интенсивно обсуждается вопрос о возможности повторения в той или иной форме событий августа 1998 года, в том числе и резкое падения курса доллара по отношению к евро.

Список литературы

1.  http://ru.wikipedia.org/wiki/Дефолт_в_России_1998_года.

2.  http://www.interfax.ru/realty/realtyinf.asp?sec=1459&id= 12050.

3.  Цветков В.П., Цветков И.В., Гуляева О.С. Фрактальный анализ валютных временных рядов. // Финансы и кредит. – № 9 (249). – 2007. – С. 30–35.

4.  Ермаков В.В., Калиткин Н.Н. Оптимальный шаг и регуляризация метода Ньютона. // Журн. вычислительной математики и математической физики. 1982. – Т. 21. – № 2. – С. 491–497.