Software & Systems

Термодинамика при конечном времени получила первый толчок для своего развития в задаче о цикле тепловой машины с максимальной мощностью [1, 2]. При этом в большинстве работ рассматривалась система, состоящая из тепловой машины и нескольких резервуаров с заданными и постоянными температурами [3].

Между тем эта задача особенно актуальна для систем, состоящих из термических резервуаров и подсистем конечной емкости с различающимися температурами, находящихся в контакте с резервуарами и друг с другом (см. рис.).

В такой системе с отличающимися друг от друга температурами резервуаров при заданных законах и коэффициентах теплопереноса устанавливается стационарный режим, характеризующийся распределением температур между подсистемами и дискретным температурным полем. При этом каждая подсистема (резервуар, подсистемы конечной емкости и тепловая машина) считается внутренне равновесной, так что необратимые эффекты возникают на границах подсистем. Только при этих допущениях для каждой подсистемы справедливо термодинамическое описание. Такие системы в литературе называют endoreversible-системами.

Естественно возникает вопрос, какую максимальную мощность можно извлечь в стационарной термодинамической системе с использованием тепловой машины, имеющей заданные коэффициенты теплообмена при контакте с каждым элементом системы. Назовем это задачей о максимальной мощности. В такой постановке она обобщает задачу И.И. Новикова [1].

Математическое описание

Рассмотрим термодинамическую систему (структура ее представлена на рисунке), состоящую из (n-m) резервуаров с постоянными температурами, m подсистем конечной емкости, температуры которых определяются запасом их внутренней энергии. Каждая подсистема может контактировать с любой подсистемой и резервуаром, к ней могут подводиться конвективные потоки тепла извне qiK. Потоки обмена теплом подсистем друг с другом обозначим как qij(Ti, Tj). Эти потоки связаны с различием температур подсистем. Будем считать, что поток положителен qij(Ti, Tj)>0, если тепло поступает к i-й подсистеме, то есть Ti

qij(Ti, Tj) – непрерывная и непрерывно дифференцируемая по совокупности аргументов;

qij(Ti, Tj)=­– qji(Tj, Ti); ;

; .

Последнее свойство характерно для систем теплообмена.

Температура подсистем зависит от запаса внутренней энергии и изменяется в результате подвода (отвода) тепла к ней:

,                                                 (1)

где qi – суммарный поток тепла, подводимый к подсистеме; Ci – ее теплоемкость.

Рассмотрим стационарное состояние тепломеханической системы, содержащей тепловую машину, которая может контактировать с подсистемами, получая или отдавая им потоки тепла, потребляя или вырабатывая мощность. Требуется найти такие температуры контакта ui рабочего тела тепловой машины с каждой из подсистем, при которых получаемая в единицу времени работа (мощность P) максимальна. Если максимальная мощность отрицательна, то она соответствует минимуму затрат подводимой извне энергии (в этом случае тепломеханическим преобразователем является тепловой насос).

Постановка задачи и условия оптимальности

Обозначим через ui температуру рабочего тела при контакте с i-й подсистемой; qij(Ti, Tj) – поток тепла между i-й подсистемой и преобразователем; P – мощность преобразователя. Поток, поступающий в каждую из подсистем, будем считать положительным.

Формализуем задачу о максимальной мощности:

                             (2)

при условиях

;                                  (3)

             (4)

Критерий (2) следует из энергетического баланса рабочего тела преобразователя. Условие (3) вытекает из энтропийного баланса рабочего тела, а (4) – энергетический баланс для i-й подсистемы конечной емкости.

Предположим, что потоки qi, qij линейно зависят от разности температур

                  (5)

где  – коэффициенты теплопереноса. Такой закон теплообмена называют ньютоновским.

Очевидно, что при числе резервуаров, большем или равном двум, и различающихся температурах резервуаров максимальная мощность положительна.

Разобьем задачу на три подзадачи.

1. Максимизировать извлекаемую мощность  при контакте преобразователя с резервуарами для заданного значения  – потока энтропии от резервуаров к рабочему телу

                             (6)

при условии

.                                              (7)

2. Максимизировать извлекаемую мощность  при контакте преобразователя с подсистемами конечной емкости для заданного значения  – потока энтропии от подсистем к рабочему телу

                                (8)

при условии

                                                (9)

и балансовых соотношениях (4).

3. Найти максимальную суммарную мощность при условии баланса по энтропии для рабочего тела преобразователя, производство энтропии в котором равно нулю:

.   (10)

Первая из этих задач рассмотрена в работе [4] для случая , где показано, что для ньютоновского теплообмена значение приведенной температуры контакта  определяется как

                    (11)

Максимальная мощность, извлекаемая при контакте с резервуарами:

;       (12)

с ростом  эта мощность монотонно возрастает.

Во второй задаче требуется найти не только температуры контактов ui, но и температуры подсистем Ti для i=1, …, m. Выразим ui через qi и Ti при условии, что потоки тепла заданы в ньютоновской форме (5):

,                                              (13)

и перепишем балансовые соотношения (4) как систему линейных уравнений относительно температур подсистем Ti, i=1, …, m:

. (14)

Или в матричной форме: ,

где ,                  (15)

, .

Обозначим элементы матрицы  через , а элементы обратной ей матрицы A-1 через  и выразим температуры подсистем через потоки qi и заданные температуры резервуаров:

           (16)

При этом .

Перейдем от задачи (8), (9), (4) относительно ui, Ti к оптимизационной задаче относительно потоков тепла qi:  при условии

.                             (17)

Выпишем функцию Лагранжа для задачи (17):

.                         (18)

Условие ее стационарности по qj примет форму

.                 (19)

Решив систему из m+1 уравнений (19), (9) относительно qi, находим оптимальные значения  и , а затем значения ,  и . При таком решении удобнее задавать не , а , затем по формуле (9) рассчитывать соответствующее решению значение потока энтропии .

В третьей задаче требуется найти максимальную суммарную мощность, извлекаемую из резервуаров и подсистем.

Выпишем функцию Лагранжа задачи (10):

.                 (20)

Из условия стационарности функции Лагранжа по ,  получаем соотношение

.                                            (21)

Так как производные  и  равны  и  соответственно, извлекаемая мощность P(qi) максимальна, когда

.                     (22)

Приведем алгоритм расчета максимальной  мощности, извлекаемой тепломеханическим преобразователем. Поскольку решение задачи разделено на три этапа, рассмотрим поэтапный алгоритм.

1. Заданные переменные: температуры резервуаров Ti, i=m+1, n [K]; матрица коэффициентов теплопереноса , i, j=1, …, n [Вт/K]; коэффициенты теплопереноса для контактов преобразователя с подсистемами и резервуарами , i=1, ..., n [Вт/K].

2. Выпишем алгоритм нахождения максимальной извлекаемой мощности при контакте с резервуаром при заданном значении :

а) найдем значение приведенной температуры контакта  по формуле (11) и значение температур контакта преобразователя с резервуарами по формуле (13);

б) найдем значения максимальной извлекаемой мощности как функцию потока энтропии  по формуле (12).

3. Выпишем алгоритм нахождения максимальной извлекаемой мощности при контакте с подсистемами. Поскольку для решения этой задачи необходимо решить систему из m+1 уравнений (19), (9) относительно qi и , будем использовать для этого метод Ньютона:

а) обратим матрицу  (15) любым доступным методом и выразим значения температур подсистем Ti относительно qi по формуле (16);

б) составим матрицу Якоби  для системы (19), (9) относительно qi, i=1, …, m и  с учетом того, что

в) в качестве начального приближения возьмем qi0=0, ;

г) найдем следующие приближения:

;

д) вычислим значение функции F в точке qk+1 ; повторим итерацию до необходимой точности.

е) найдя оптимальные значения  и , можно найти температуры подсистем  по формуле (16) и значение температур контакта  и извлекаемой мощности Ps*.

4. Вычислим значения  и  для значений .

5. Решим вторую задачу для . Вычислим .

6. Если , перейдем к п. 4 с учетом .

7. Вычислим значение извлекаемой мощности для полученных оптимальных  и .

Пример. Рассмотрим систему, состоящую из двух резервуаров, четырех подсистем и преобразователя. Структура системы показана на рисунке.

Матрица коэффициентов теплопереноса  имеет вид

.

Значения aij при i, j=1, ..., 4 соответствуют коэффициентам взаимодействия подсистем между собой, значения при i>4 или j>4 – коэффициентам взаимодействия подсистем c резервуарами. Температуры резервуаров: T+=700 K, T-=300 K. Коэффициенты теплопереноса при взаимодействии преобразователя с подсистемами и резервуарами:

.

Значения ai при i=1, ..., 4 соответствуют коэффициентам взаимодействия с подсистемами, а при i>4 – коэффициентам взаимодействия c резервуарами. Коэффициенты имеют размерность Вт/К.

Сначала были найдены значения  по формуле (11) и  по формуле (12) для значений , лежащих в интервале [0, 0,5]. Затем решалась система из m уравнений (19) для фиксированного значения  на отрезке [400, 600] K и по формуле (9) рассчитывалось соответствующее значение .

После этого находились оптимальные  и  по формуле (22), значения температур подсистем Ti по формуле (16) и температур контакта преобразователя ui по формуле (13).

В результате были получены следующие значения оптимальных температур: T1=564,8 K; T2=540,2 K; T3=563,7 K; T4=527 K.

Оптимальные температуры контакта преобразователя с подсистемами: u1=557,8 K; u2=543,6 K; u3=557,7 K; u4=536,3 K; u5=620,2 K; u6=406 K.

Значение предельной извлекаемой мощности P*=3,22 кВт.

В работе получены оценки максимальной извлекаемой мощности для произвольной стационарной термодинамической системы и соответствующие ей распределения потоков тепла и температур контакта рабочего тела с подсистемами. Предложен алгоритм расчета максимальной извлекаемой мощности и оптимальных характеристик тепловой машины.

Литература

1. Novikov I.I. The efficiency of atomic power stations // J. Nuclear Energy II. 1958. № 7, pp. 25–128.

2. Curzon F.L., Ahlburn B. Efficiency of a Carnot engine at maximum power output. Amer.J. Physics. 1975. № 43, pp. 22–24.

3. Amelkin S.A., Andresen B., Burzler J.M., Hoffmann K.H., Tsirlin A.M. Maximum power processes for multi-source endoreversible  heat engines  J. Phys. D: Appl. Phys. 2004. № 37, pp. 1400–1404.

4. Tsirlin A.M., Kazakov V., Ahremenkov A.A., , Alimo- va N.A. Thermodynamic constraints on temperature distribution in a stationary system with heat engine or refrigerator // J. Phys. D: Appl. Phys. 2006. № 39, pp. 4269–4277.