Software & Systems

Одним из важнейших применений САПР в машиностроении является представление и моделирование различных трехмерных объектов – деталей. Поверхности ряда таких деталей, как, например, гребной винт, перья турбинных лопаток, некоторые тела вращения и отливок, достаточно сложны для описания. Наиболее полно задача моделирования объектов с подобного рода поверхностями решается лишь небольшим числом зарубежных промышленно-ориентированных САПР (Simatron, Microstation, Pro Engeneer, UNISURF и некоторыми другими). В сложившихся условиях у этих систем очень высокая цена, сложность в использовании, повышенная требовательность к вычислительным ресурсам.

В статье предлагается описание алгоритма построения гладкого сопряжения, который используется при разработке системы геометрического моделирования машиностроительных деталей. В качестве базового использован метод Безье для представления кривых и поверхностей в параметрическом виде.

Постановка задачи. Пусть имеются две порции поверхности, заданные в форме Безье. Порции имеют общую граничную характеристическую ломаную, определяющую линию пересечения порций. Необходимо построить бикубическую (в общем случае) порцию поверхности, которая непрерывно и гладко сопрягалась бы с двумя заданными порциями.

Для простоты и наглядности объяснения одного из возможных вариантов решения поставленной задачи предлагается сначала рассмотреть случай гладкого сопряжения двух соприкасающихся пространственных бикубических кривых. Исходные кривые заданы в форме Безье. Определена их общая точка (точка соприкосновения). Требуется построить кривую, непрерывно и гладко сопрягающуюся с исходными кривыми.

Пусть первая из кривых определяется характеристической ломаной Р00Р01Р02Р03, вторая – ломаной Р10Р11Р12Р13. Точки Р03 и Р10 совпадают. Обе кривые разделим по параметру в соотношении, показанном на рисунке 1. Для каждой из полученных в результате деления частей построим характеристическую ломаную, чтобы в дальнейшем можно было работать не с кривыми целиком, а именно с их частями. Построить характеристические ломаные для отдельных частей исходных кривых можно путем преобразования вершин характеристических ломаных исходных кривых, пользуясь формулами:

D0=(1-u0)3P0+3u0(1-u0)2P1+3u02(1-u0)P2+u03P3;

D1=(1-u0)2(1-u1)P0+(1-u0)(2u0+u1-3u0u1)P1+

+u0(2u1+u0-3u0u1)P2+u02u1 P3;

D2=(1-u0)(1-u1)2P0+(1-u1)(2u1+u0-3u0u1)P1+

+u1(2u0+u1-3u0u1)P2+u12u0P3;

D3=(1-u1)3P0+3u1(1-u1)2P1+3u12(1-u1)P2+u13P3.

Рассмотрим соприкасающиеся части исходных кривых. Они определяются характеристическими ломаными D00D01D02D03 и D10D11D12D13 соответственно (рис. 2). Выделим от каждой из этой пары ломаных по две точки: от левой (по рисунку) – точки D00 и D01, от правой – D12 и D13. Теперь предположим, что точки выделенной четверки являются вершинами характеристической ломаной для сопрягающей кривой. Тогда в точках D00 и D13 сопрягающая кривая будет касаться левой и правой (по рисунку) кривых соответственно. Таким образом, непрерывность кривой при переходе от левой кривой к кривой сопряжения (в точке D00) и при переходе от сопрягающей к правой кривой (в точке D13) будет обеспечена. Непрерывность направления касательной при переходе через точки D00 и D13 обеспечивается коллинеарностью векторов D00D01 и K02K03 – для точки D00, и D13D12 и K00K01 – для точки D13.

Далее необходимо отбросить ненужные части исходных кривых, накрываемые сопрягающей кривой. Для этого с помощью уже известных формул преобразуем характеристические ломаные исходных кривых по параметру и в результате получаем характеристические ломаные для оставшихся (нужных) частей кривых. Это ломаные P¢00P¢01P¢02P¢03 и P¢10P¢11P¢12P¢13 (рис. 3).

Рассмотрим случай построения сопрягающей порции поверхности для двух соприкасающихся порций. Исходные порции заданы в форме Безье, то есть заданы два характеристических многогранника, содержащих по 16 вершин. Многогранники имеют четыре общие вершины, которые образуют характеристическую ломаную линии касания порций (рис. 4).

Для порции можно выделить по четыре характеристические ломаные в направлении изменения каждого из двух параметров (u и v). Рассмотрим такие ломаные в направлении изменения параметра v для обеих пересекающихся порций. Ломаные можно объединить в пары: каждая пара имеет одну общую точку (эта точка является к тому же одной из вершин характеристической ломаной линии касания исходных порций).

Таким образом, получаем четыре пары ломаных, определяющих четыре пары кривых. Для всех четырех пар этих кривых применим описанную ранее процедуру построения сопрягающих кривых. В результате в направлении изменения параметра v имеем четыре характеристические ломаные для кривых, каждая из которых касается исходных порций. Будем полагать, что эта четверка ломаных представляет собой характеристический многогранник порции сопряжения (рис. 5).

Векторы в тройках

a33a32, a33a23 и a33c31;

a03a02, a03a13 и a03c01;

b30b31, b30b20 и b30c32;

b00b01, b00b10 и b00c02

компланарны, что обеспечивает непрерывность и гладкость сопряжения порций.

Таким образом можно получить характеристический многогранник порции, непрерывно и гладко сопрягающейся с исходными.

Следует остановиться на определении формы вновь получаемой кривой сопряжения. Для этого определим кривизну кривой в точках u=0 и u=1 по соотношениям:

k(0)=(2w0w2/3w12 )(| (r1-r0) x (r2-r1) |/|r1-r0|3),

k(1)=(2w1w3 /3w22)( |(r2-r1) x (r3-r2) | / |r3-r2 |3),

где k – кривизна; w – однородная координата.

Таким образом, меняя лишь координаты wi, можно в определенной степени управлять формой кривой.

В случае построения порции сопряжения для ограничения изменения формы сопрягающей порции в направлении изменения одного из параметров можно потребовать постоянства кривизны данной порции при переходе от одной характеристической ломаной к другой в точках ее касания исходных порций. Если значение кривизны меняется, его можно корректировать, изменяя значения однородных координат w1i и w2i.

Литература

1. Норенков И.П., Маничев В.Б. Основы теории и проектирования САПР: учеб. для вузов. М.: Высшая школа, 1990. 335 с.

2. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: введение. М.: Мир, 1989.

3. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия: применение в проектировании и производстве. М.: Мир, 1982.