Software & Systems

Работы по созданию САПР технологии изготовления высокоточных стальных фасонных профилей (СФП) ведутся на ОАО «Ижсталь» более тридцати лет [1].

Теоретическая база САПРа неизменна – это понятия внутреннего и внешнего скелета контура, которые могут служить аналогом линии мгновенных центров деформации (МЦД) и обеспечивать равномерность обжатия при проектировании инструмента на каждом переходе при различных технологических схемах изготовления СФП.

В процессе проектирования САПР решаются три основные задачи: построение переходных сечений, расчет МЦД и выбор технологических параметров [2].

Важное внимание на данном этапе модернизации САПР уделено расчету МЦД. Кроме ранее применявшихся для описания СФП, отрезков прямых и дуг окружностей, предлагается употреблять дуги эллипсов. Такая возможность появилась благодаря информационно-лингвистической интерпретации геометрии. Эти методы апробированы и широко используются на кафедре АСОИУ Ижевского государственного технического университета. Теоретической базой метода является интерпретация евклидовой плоскости как таблицы реляционной БД. При этом плоскость подчиняется второму правилу Кодда и одновременно определяется синтаксическое правило ее построения: сохранение переставной симметрии, определяемой матрицей . Из абстрактных исследований для получения новой версии САПР использовалось вычисление точек пересечения геометрических примитивов через цепочки преобразова- ния [3].

Для расчета МЦД необходимо решить две задачи: аппроксимировать геометрические примитивы отрезками прямых и рассчитать точки МЦД.  Эти точки рассчитываются как пересечение отрезков, направленных по нормали к геометрическому примитиву в данной точке. При этом расстояние между двумя точками, принадлежащими разным примитивам, должно быть минимальным [1].

Аппроксимация отрезков прямых и дуг окружностей не вызывает сложностей, а дуги эллипса не так тривиальна. Рассмотрим ее подробнее.

Нормаль в данной точке эллипса определяется как обратная величина по отношению к радиусу кривизны. Радиус кривизны R в точке M(x0, y0), как известно из аналитической геометрии, запишем как , где a, b – длины полуосей эллипса. Пусть выполняется условие b/a=k<1. Значение k=1 рассматривать не будем, так как эллипс в данном случае трансформируется в окружность. Длина отрезка аппроксимации d должна быть постоянной: , где dx, dy – элементарное приращение по соответствующей координате. Подстановка в каноническое уравнение эллипса  не позволяет соблюсти условие d=const. Использование параметрической системы уравнений, описывающих эллипс, , приводит к очень сложным расчетам, при которых шаг изменения угла dt не является постоянным. Так как необходима аппроксимация не всего эллипса, а его дуги, использование приближенного значения для периметра эллипса также возможно, только с большими вычислительными затратами.

Для решения проблемы предлагается использовать понятие малого угла, применяемого в машиностроении. Малым углом, для которого выполняется условие a»sina»tga, считается угол со значением, принадлежащим промежутку [–p/12, p/12]. Данный промежуток принято считать для таких геометрических примитивов, как отрезок прямой или дуга окружности.

Пусть имеется эллипс, расположенный в центре координат, и его дуга не имеет разрывов в I квадранте. Рассмотрим, какой угол будет малым в окрестностях точки (a, 0). Треугольник, образованный по точкам (0, 0), (a, 0), , где j=p/12, при сжатии вдоль оси ординат с коэффициентом k будет иметь угол . Максимально малым углом будет угол j2, обусловливающийся формулой , , , где j3=arctg k. Отсюда диапазон малых углов эллипса в окрестности точки (a, 0) можно определить как . Для углов, попадающих в данный диапазон, значение шага аппроксимации равно . Отсюда выбираем переменный шаг изменения угла dt.

В окрестностях точки (0, b) диапазон малых углов относительно оси ординат уменьшится до промежутка [p/2-p arctg k/12, p/2]. Шаг изменения угла также будет переменным, так как .

На промежутке [p/12/arctg k, p/2–p arctg k/12] считаем шаг изменения угла dt в параметрической системе уравнений эллипса постоянным, как для окружности.

Получившуюся погрешность в расстоянии между точками аппроксимации компенсируем точностью расчета точек при определении МЦД.

Разработанные алгоритмы нахождения точек пересечения позволяют быстрее найти точки пересечения эллипса с эллипсом, а также выделить из всех точек пересечений действительно существующие для ограниченных геометрических примитивов. К примеру, пересечение эллипса с эллипсом (окружностью) решается через квадратное уравнение [3], в отличие от применяемого метода Декарта–Эйлера для решения уравнений четвертой степени и связанного с ним метода Кардано–Тартальи для решения кубических уравнений. Уменьшение количества вычислительных операций происходит за счет не только непосредственного расчета, но и – главное! – за счет уменьшения и упрощения различных проверок. Чем сложнее вид геометрических примитивов, тем быстрее работает программа.

Пример работы САПР представлен на рисунке. Из него видно, что аппроксимация эллипса по предложенному алгоритму прошла достаточно равномерно. В программе употреблены конструкторские термины. Линия МЦД имеет некоторые отклонения от реальной, которые исправляются увеличением точности аппроксимации. В тестовом примере в середине контура расположена окружность, которой не бывает на стандартно рассчитываемых высокоточных стальных фасонных профилях. Окружность внедрена в контур, чтобы показать, что и для непредвиденных ситуаций возможно правильное решение.

На первый взгляд, полученная линия МЦД похожа на диаграмму Вороного, но в отличие от нее имеет следующие особенности: точки МЦД находятся всегда по нормали, в геометрическом объекте отсутствуют пересечения отрезков прямых. Даже если такие пересечения есть, линии МЦД никогда не достигают точки пересечения.

Опыт реализации поставленной в работе задачи показал, что использованные методы решения геометрических задач могут быть эффективны для расчета траектории режущего инструмента при обработке трехмерных объектов в различных плоскостных сечениях.

Литература

1. Автоматизированное проектирование технологии обработки материалов / А.И. Петров, В.С. Тарасов [и др.]. Ижевск, Удмуртия, 1978. 196 с.

2. Яхнис М.А Автоматизация технологической подготовки производства // Сталь, 2000. № 4. С. 49–52.

3. Ложкин А.Г. Вычислительная планиметрия с вырожденными преобразованиями. Екатеринбург: Изд-во ин-та экономики РАН, 2009. 158 с.