Software & Systems

Системы контроля и/или измерения состояний процессов и сред разного рода в последнее время принято именовать системами мониторинга. Причем в большинстве случаев функции современных информационных систем уже не ограничиваются сбором и регистрацией данных: прикладные задачи мониторинга подразумевают и принятие решений в терминах обнаружения объектов. Под объектами в широком смысле слова могут пониматься как определенные предметы (самолеты, суда, стаи рыб) или их свойства (например бракованные изделия), так и происходящие в какой-либо среде процессы, аномалии среды, вещества (концентрации), излучения и другие предметы или явления, которые могут быть опасными, полезными или представляющими научный интерес.

Используемый для этого аппарат статистической проверки гипотез (в данном случае – альтернативных гипотез о наличии и отсутствии объекта) сводится к двум известным вариантам – классическому и байесовскому подходам [1, 2].

В классическом подходе задача оптимального выбора сводится к минимизации вероятностей a и b ошибок 1-го и 2-го рода, которые представляют собой условные вероятности вида

                                                                                                                                                                         (1)

где  – вероятность того, что проверяемая гипотеза H будет принята при том условии , что она неверна; P{w½H} – вероятность того, что верная гипотеза H будет отвергнута. Здесь w – критическая область, то есть область, при попадании в которую значения (выборки) x случайной величины x гипотеза H отвергается;  – область (дополнительная к w), при попадании в которую выборки x проверяемая гипотеза H принимается.

Классический подход не использует априорные данные – априорную вероятность P{H} проверяемой гипотезы, и процедура проверки гипотезы в классическом варианте является однократной. В задачах мониторинга это обстоятельство чревато следующими проблемами.

Принципиальная неизвестность истинности гипотез. Кажется естественным считать реальность (наличие или отсутствие объекта) первопричиной всех сигналов и решений. (На самом деле классической в науке признается и обратная ситуация – первичность эмпирических данных по отношению к гипотезам. По экспериментальным данным (сигналам) реконструируются как недоступные для непосредственного изучения астрономические макрообъекты (такие, как пульсары), так и объекты микромира, изучаемые в атомной физике. Характерно, что тот же вопрос отношения между реальностью и имеющимися о ней данными (сигналами) является фундаментальной проблемой гносеологии. В таком расширительном контексте инверсной постановке задачи выбора гипотез о реальности соответствует подход современной философии радикального конструктивизма.) Однако изнутри решающей процедуры истинность проверяемых гипотез остается неизвестной в принципе. Исходные условия H и в (1) не являются заданными фактами; выражение (1) имеет сугубо сослагательный смысл – оно задает вероятности ошибок в случаях, если действительно верна та или иная гипотеза. То есть концептуальная проблема классической постановки задачи в том, что истинность условий H или  (имеющих место на самом деле) остается неизвестной независимо от правильности или ошибочности принятых решений. Все реальные ошибки будут оставаться невыявленными, поскольку процедура принятия решения не предполагает никаких апостериорных средств верификации.

Отсутствие гарантированности контроля. Эта проблема является прямым логическим следствием неизвестности истинности гипотез в рамках решающей процедуры. В работе [3] приведен пример предприятия, выпускающего только некондиционную продукцию. Сколь малой ни была бы при этом вероятность b пропуска брака (здесь H – гипотеза о том, что изделие является бракованным), потребитель получит только брак. В реальных условиях такой производственный процесс будет, конечно, остановлен, но произойдет это не благодаря решающим правилам, а по причинам, внешним по отношению к рассматриваемой процедуре контроля. Практическая абсурдность такой ситуации в рамках контроля остается невидимой.

Противоречие с непрерывным характером мониторинга. Игнорирование априорных данных находится и в некотором смысловом противоречии с самой задачей мониторинга. Мониторинг по сути является непрерывным процессом самой задачи постоянного наблюдения. Можно сказать, что существование априорной информации – неизбежное условие мониторинга как непрерывного процесса.

Дополнительными формами априорных данных в системах экологического мониторинга, например, бывают оповещения об авариях и выбросах. Подобного рода сигналы учитывать естественно и необходимо.

В сетевых системах контроля обстановки (например, противолодочных, противоракетных) априорной информацией являются сигналы обнаружения объектов от соседних ячеек сети (например, гидроакустических, радиолокационных обнаружителей).

Наконец, рост быстродействия современной аппаратуры позволяет повышать точность результатов путем многократных повторных измерений (также имеющих смысл априорных данных).

Инверсная постановка задачи. Байесовский подход

В отличие от истинности проверяемых гипотез принимаемые решения являются известными фактами. Это оправдывает инверсную [2] по отношению к выражению (1) оценку условных вероятностей вида

,                                                                                                                                                                        (2)

Перестановка причин и следствий возможна с помощью известной формулы Байеса:

.                                                                                                           (3)

Из соотношения (3) легко получить выражение апостериорного распределения pi(x)º ºP{Hi½x=x} верности, вообще говоря, для m гипотез Hi при том условии, что исследуемая случайная величина ξ приняла значение x.

Пусть имеется m гипотез Hi  о природе (механизмах возникновения) наблюдаемой случайной величины ξ. При этом каждой гипотезе соответствует известная функция fi(x) условной плотности распределения значений x случайной величины ξ. Полагая, что одна и только одна из гипотез является справедливой, можно записать для априорных вероятностей fi их верности известное соотношение

.                                                                             (4)

Если априорное распределение {fi} неизвестно, гипотезы можно считать равновероятными. То есть в случае максимальной неопределенности на первом шаге этапа наблюдения можно полагать

.                                                                  (5)

Подставляя в выражение (3) на место условной вероятности P{A½B} искомые вероятности pi(x)ºP{Hi½x=x} верности гипотез при условии {x=x}, а также представив отношение  условной и полной вероятностей в эквивалентном виде  и используя обозначение fiºP{Hi}, имеем для априорного распределения выражение

.                                                                            (6)

При выборе из двух альтернативных гипотез H и  при условных плотностях fH(x) и  и заданном априорном распределении гипотез (P{H}=f, ) апостериорная вероятность pH(x) справедливости проверяемой гипотезы H определится выражением

.                                                                               (7)

Алгоритм непрерывного мониторинга

Выражения (6) и (7) отражают тот факт, что в результате получения значения {x=x} из эксперимента изначально заданное априорное распределение fi подлежит замене на вычисленное распределение pi(x). При продолжении испытаний (непрерывный мониторинг) эта замена выражается оператором fi:=pi(x)                                                                                                                                                        (8)

присвоения значений: полученная вероятность pi(x) является априорной для последующего испытания. Поскольку непрерывный мониторинг предполагает обработку последовательностей {xk} (k=1, 2, 3, …) данных, то в соответствующих циклических алгоритмах возможна индексация получаемых значений вида

,                                                                                                  (9)

где xk – значение наблюдаемой случайной величины ξ, полученное на очередном (k-м) шаге;  – вычисляемое на данном k-м шаге распределение вероятностей справедливости гипотез ;  – то же распределение, вычисленное на предыдущем шаге, причем .

В случае альтернативы из двух гипотез текущая вероятность p(k) наличия объекта на данном k-м шаге определяется выражением

.                                                (10)

При использовании решающего устройства с известными вероятностями α и b ошибок 1-го и 2-го рода область возможных значений x случайной величины x оказывается разбитой на две области: критическую w (при попадании x в которую проверяемая гипотеза H отвергается) и дополнительную к w область  (область принятия гипотезы H).

В этом случае выражение, аналогичное последнему, получается из определений (2) и (1) с учетом выражений

                                                                                                           (11)

и P{w}=fb+(1–f)(1–a).                                                                                            (12)

Выражения ошибок (2) через ошибки (1) при этом имеют вид:

                                                                                    (13)

и .                                                                                                                                         (14)

Соотношения (13) и (14) позволяют вычислять вероятности P{H½w}=d и  верности проверяемой гипотезы H в зависимости от принадлежности получаемого результата x к областям w или  (то есть в зависимости от дискретных решений первичного обнаружителя) следующим образом:

                (15)

При циклически повторяющейся проверке гипотезы (режим непрерывного мониторинга) текущее значение pkºP{H½x=xk} вычисляется заменой pk–1=f, то есть по формуле

                (16)

Рекуррентное выражение (16) преобразует последовательность дискретных решений в последовательность {pk} значений текущей вероятности проверяемой гипотезы.

При экологическом мониторинге случай m гипотез (соотношение (9)) может соответствовать задаче идентификации загрязнителя, а случай пары альтернативных гипотез (соотношение (16)) – задаче обнаружения определенного стрессора.

Динамика. Переходные процессы и точность вычислений

Рассмотренные варианты (выражения (9) и (16)) алгоритма непрерывного мониторинга могут быть практически полезными в связи с ростом быстродействия элементного базиса, дающим все больше возможностей для многократных измерений и повторяющихся оценочных процедур.

Однако вычисления основываются на предположении о постоянной справедливости одной из гипотез (стационарный случай). Между тем процесс наблюдения за объектом (процесс непрерывного мониторинга) предполагает и возможность смены состояний истинности гипотез.

Так, в случае проверки m гипотез из (9) возможны такие ситуации, что вероятность  отвергаемой гипотезы Hi в процессе вычислений (начиная с k-1-го шага) станет настолько малой, что для всех x будет выполняться неравенство

,                                                                                                                                     (17)

где Hj – любая другая гипотеза. В этом случае вероятность pi может лишь уменьшаться в процессе дальнейших вычислений. И если после выполнения условия (17) гипотеза Hi станет справедливой, то установить этот факт можно, лишь заново начав испытания.

При рассмотрении переходного процесса, возникающего при смене состояний истинности альтернативных гипотез H и , будем полагать, что оба состояния (H и ) являются достаточно продолжительными (иначе говоря, быстродействие первичного обнаружителя является довольно высоким), а вероятности a и b обеих ошибок первичного обнаружителя достаточно малы. При этом переход от истинности гипотезы к истинности альтернативной гипотезы H должен вызвать переходный процесс изменения значений от pk<<1 к значениям pk~1. И соответственно, переход от истинности гипотезы H к истинности альтернативной гипотезы  должен вызвать переходный процесс изменения значений от pk~1 к pk<<1.

Переходный процесс изменения вычисляемой вероятности pk при возникновении объекта характеризуется при этом соотношением

,                                                                                                                                                                           (18)

а обратный процесс пропадания объекта – обратным соотношением

.                                                   (19)

Соотношение (18) представляет экспоненциальный процесс нарастания малых значений вероятности pk, а (19) – экспоненциальный процесс уменьшения, соответственно, малых значений дополнительной вероятности.

Технической проблемой (выявившейся при компьютерном моделировании процесса непрерывного мониторинга) оказалась необходимость проверки состояния вычислительного процесса на условие неравенства текущих вероятностей гипотез нулю и единице. По достижении таких состояний дальнейшие вычисления невозможны. А опасность таких состояний связана с проблемой дискретного представления чисел в условиях неоптимальности принятого стандарта IEEE754 [4]. Проблемой реализации алгоритмов для вероятностных расчетов оказывается тот факт, что для представления чисел, близких к единице, в фор- мате с плавающей запятой нормализация невозможна, а денормализованное представление не обеспечивает гарантированной точности. Эти обстоятельства требуют введения в алгоритмы специальных мер контроля вычислительного процесса.

Замечания. Предпочтительность байесовского подхода перед классическим в задачах мони- торинга обосновывается примерно следующими обстоятельствами.

1. Контроль процедуры по условным вероятностям (2) соответствия гипотез решениям (вместо вероятностей (1) соответствия решений ги- потезам) оказывается более конструктивным, поскольку принимаемые решения являются известными условиями, а истинность гипотез – неизвестными (предметом оценок).

2. Получаемые при этом оценки вероятностей истинности проверяемых гипотез в непрерывном мониторинге естественно использовать в качестве априорных вероятностей для последующих измерительно-вычислительных процедур. Это дает возможность обработки непрерывных последовательностей статистических решений, что повышает точность результата.

3. Существование априорных вероятностей объектов обнаружения является своего рода неизбежностью во многих современных комплексах контроля окружающей среды, включая пространственно распределенные сети и системы мониторинга.

Данные обстоятельства позволяют строить надежные мониторинговые системы на основе  обнаружителей, собственная точность которых может быть далека от требований, предъявляемых к системам.

Известное удобство предоставляет возможность отслеживать текущую вероятность наличия объекта. Это позволяет применять, например, различные оперативные меры в зависимости от текущей оценки уровня опасности.

Современная обобщенная трактовка мониторинга как контроля любой окружающей реальности делает уместным и замечание о смысловом различии между классическим и байесовским подходами к задаче.

Дилемма формально сводится к вопросу о том, какое из условий в (3) считать изначально заданным – истинность гипотезы или принятое о ней решение. По сути же этот выбор достаточно далеко выходит за рамки чисто формальной перестановки условий. Его смысловые аспекты восходят к философии научного познания, например, к проблеме объектно-субъектных отношений, к вопросу о первичности опыта или научной теории. Эти же концептуальные аспекты очередности условий истинности гипотез и принимаемых решений проявляются и в других гносеологических контекстах, затрагивающих вопросы происхождения знаний и представления о реальности [5].

Литература

1. Башаринов А.Е., Флейшман Б.С. Методы статистического последовательного анализа и их радиотехнические приложения. М.: Сов. радио, 1962. 352 с.

2. Вероятность и математическая статистика. М.: Изд-во «Большая российская энциклопедия», 1999.

3. Володин И.Н., Новиков А.А., Симушкин С.В. Гарантированный статистический контроль качества: апостериорный подход // Обозрение приклад. и пром. матем. 1994. Вып. 2. Т. 1. С. 148–178.

4. Криницкий Н.А., Миронов Г.А., Фролов Г.Д. Программирование. М.: Физматлит, 1963.

5. Куракин А.Л. Процессы познания и вопросы мировоззрения в терминах математической статистики // Вопросы философии. 2005. № 3. С. 118–127.