Software & Systems

Моделирование процесса непрерывной ферментации [1] и исследование возможности реализации оптимальных условий для процесса с нелинейной кинетикой роста от концентрации субстрата [2–5] показало следующее. Оптимальные условия по продуктивности целевого продукта определяются двумя величинами – концентрацией субстрата в поступающем потоке Sf и величиной протока D (D=Q/V, где Q – объемная скорость подачи субстрата; V – объем заполнения ферментёра). Экстремальный характер зависимости продуктивности (D×P) (P – концентрация продукта на выходе из аппарата) предполагает возможность неединственности стационарного режима, при котором одинаковое значение (D×P) может быть обеспечено различными значениями Sf и D. Это приводит к необходимости оценки показателей процесса при различных вариантах заданных условий его проведения.

Приведем разработанные алгоритмы оценки показателей процесса для следующих условий.

1. Заданы численные значения Sf и D. Необходимо оценить S, X, P и Qp=D×P.

2. Заданы допустимая область для Sf : Sfmin

3. Заданы допустимая область для D: Dmin

Особенности алгоритмов заключаются в том, что при некоторых численных значениях параметров кинетического соотношения, заданных значениях величины протока D и концентрации субстрата в поступающем потоке Sf требуется оце- нивать возможность реализации непрерывного процесса. Это означает, что при некоторых численных значениях D и Sf реализация непрерывного процесса невозможна и эти значения должны быть скорректированы. Последнее требует формулировки корректирующих соотношений и, как следствие, включения в соответствующий алгоритм диалоговой составляющей. При разработке каждого алгоритма указанные ограничения и корректирующие рекомендации включены в общую блок-схему реализации расчета показателей процесса соответствующей постановки задачи.

Разработка алгоритмов оценивания

Алгоритм 1. Это основополагающий алгоритм, использующийся в решении других задач в различных постановках. Постановка задачи для реализации алгоритма включает задание концентрации субстрата в поступающем потоке Sf, г/л, и величины протока D, ч–1. В результате расчета необходимо получить: оценки концентрации субстрата в потоке на выходе из аппарата S, г/л; концентрации биомассы X, г/л; концентрации продукта P, г/л, и величины продуктивности Qp=D×P, г/(л×ч).

Блок-схема алгоритма показана на рисунке 1. Необходимые пояснения к использованию алгоритма связаны с тем, что непрерывный процесс микробиологического синтеза не всегда может быть реализован для заданных условий.

Расчетные соотношения, используемые в алгоритме, приведены в [1] и имеют вид

,                                   (1)

где ,                              (2)

,              (3)

.                                                  (4)

Выбор знака (±) в выражении (1) определяется условием ограничения для S:

0≤S≤Sf.                                                                     (5)

Знак равенства в (5) относится к предельным случаям.

Для X и P имеем

,        (6)

P=X∙(α+β/D).                                                           (7)

Для расчета продуктивности D×P (производительности по целевому компоненту P) используем формулу D∙P=X∙(α∙D +β).                                            (8)

Первый блок алгоритма, в котором оценивается правильность задания величины протока D при заданном Sf, требует выполнения неравенства D

Выражение для корректирующего соотношения:

.                                      (9)

Если D³maxD, возможны два варианта коррекции.

1.     Вычисляем maxD по заданному Sf и прини­маем новое значение D

2.     Вычисляем значение  по заданному значению D:

.(10)

Принимаем новое значение .

Числовой пример по данным таблицы.

Пусть задано Sf=22 г/л и D=0,27 ч–1.

1.     Вычисляем maxD=0,23 ч–1. Принимаем новое значение D=0,22

2.     Вычисляем =15,3963 г/л. Принимаем . Пусть Sf=14,0 г/л. Тогда maxD=0,278 ч–1. Таким образом, D

Второй блок алгоритма, в котором оценивается правильность задания исходных данных Sf и D, относится к условиям соотношения знаков вспомогательных коэффициентов, а именно к условию, когда B>0 при A<0. В этом случае реализация процесса невозможна, поскольку S (концентрация субстрата в выходном потоке) принимает отрицательное значение.

Численные значения параметров

Возможная корректировка связана с изменением величины D до значения, при котором вспомогательный коэффициент A станет больше нуля.

Условие положительности вспомогательного коэффициента A будет иметь вид

.                      (11)

Соотношение (11) будет соотношением для корректировки D, обеспечивающей изменение знака вспомогательного коэффициента A с отрицательного на положительный.

Третий блок алгоритма, определяющий правильность задания исходных данных, включает проверку выполнения неравенства B2+4∙A∙C>0, где B<0 и A<0. Если это условие выполняется, далее следует расчет показателей процесса. Если это условие не выполняется, необходимо корректировать исходные данные.

Условие корректировки: B2+4∙A∙C>0.

Откуда

.  (12)

Корректирующее соотношение будет иметь вид (дискриминант больше нуля)

.  (13)

Блоки 2 и 3 на рисунке 1 обведены пунктиром. Этот фрагмент алгоритма 1 (далее модуль 1) используется в алгоритмах 2 и 3.

Алгоритм 2. Данный алгоритм является алгоритмом оптимизации, реализация которого обеспечивает возможность оценки показателей процесса S, X, P и Qp при максимальном значении продуктивности Qp=D×P.

Задание на расчет включает допустимую область выбора концентрации субстрата в поступающем потоке Sf при заданной величине прото- ка D.

Таким образом, исходные данные для расчета имеют вид a=Sf min, г/л; b=Sf max, г/л; D, ч–1.

Требуется вычислить Sf, S, X, P и Qp, при которых Qp максимальна, причем Sf min £ Sf £ Sf max.

Проверка правильности задания исходных условий для реализации непрерывного процесса и их возможная корректировка.

1. Вычисляется максимальная величина протока maxD(a) по формуле (9), где Sf=a, при которой субстрат концентрации a=Sf min полностью вымывается из аппарата, не вступив в процесс синтеза.

Если заданное значение D³maxD(a), необходимо уменьшить его.

2. Вычисляется максимальная величина протока maxD(b) по формуле (9), где Sf=b, при которой субстрат концентрации b=Sf max полностью вымывается из аппарата, не вступив в процесс синтеза.

Если заданное значение D³maxD(b), необходимо уменьшить его.

В этом условии возможна коррекция и по величине b=Sfmax. То есть вычисляется новое значение  по формуле (10) и принимается новое значение .Таким образом, пункты 1 и 2 обеспечивают условия по заданным значениям a=Sfmin, b=Sfmax и D, при которых непрерывный процесс реализуем, то есть имеется возможность решать задачу оптимизации по критерию Qp=max.

Формула для определения Sf, отвечающего оптимальному значению Qp, имеет вид [1]

                              (14)

Использование ее ограничено значением величины протока. Минимальное значение D=0, максимальное (назовем его предельным) рассчитывается по формуле

,                                                            (15)

где .

Значения Sf при D=0 и Sf при D=Dпред и D=0 равны . Функция (14) имеет экстремум по величине D.

Следовательно, при решении задачи максимизации Qp возможны два варианта. Первый вариант: если D

Изложенные выше положения используются в блок-схеме решения задачи оптимизации.

Однако рассматриваемая задача имеет еще ограничения, связанные с численными соотношениями a=Sf min, b=Sf max и  (когда есть возможность использовать формулу (14)).

Если исходные данные или условия их корректировки выполняются, возможны следующие ситуации при определении максимальной продуктивности Qp (рис. 2):

; максимум Qp будет граничным, координата максимума ;

; максимум Qp будет граничным, координата максимума ;

; максимум Qp будет внутренним, координата максимума .

На рисунке 3 показана блок-схема алгоритма 2.

Приведем числовой пример реализации алгоритма.

Исходные данные для расчета: a=Sf min=20 г/л; b=Sf max=30 г/л; D=0,21 ч–1.

1.       Вычисляем maxD(a)=0,24376 ч–1;

D

2.       Вычисляем maxD(b)=0,19970 ч–1;

D>maxD(b).

Первый вариант корректировки: принимаем новое значение D=0,18 ч–1.

3.       Вычисляем предельное значение D:

Dпред=0,32718 ч–1.

Так как D=22,12022 г/л; так как выполняется условие a<22,12022=22,12022 г/л; D=0,18 ч–1.

Второй вариант корректировки:

4. Вычисляем 27,31937 г/л; принимаем b=Sf max=27 г/л (меньше ).

5. Вычисляем maxD(b) при b=27 г/л: maxD(b)=0,21129 ч–1; D

6. Вычисляем =19,33942 г/л.

Для дальнейшего расчета условия имеют вид Sf=a=20 г/л; D=0,21 ч–1.

Значения показателей:

–      по первому варианту корректировки: Qp=4,049 г/(л×ч); S=5,138 г/л; X=6,793 г/л; P=22,492 г/л;

–      по второму варианту корректировки: Qp=3,741 г/(л×ч); S=5,871 г/л; X=5,652 г/л; P=17,816 г/л.

Алгоритм 3. Данный алгоритм также является алгоритмом оптимизации, реализация которого обеспечивает возможность оценки показателей процесса S, X, P и Qp при максимальном значении продуктивности Qp=D×P.

Задание на расчет включает допустимую область выбора величины протока D при заданной концентрации субстрата Sf в поступающем потоке.

Таким образом, исходные условия для расчета имеют вид a1=Dmin, ч–1; b1=Dmax, ч–1; Sf, г/л.

В результате расчета необходимо определить S, X, P, Qp и D, при котором Qp максимальна, причем Dmin£D£Dmax.

Проверка правильности задания исходных условий для реализации непрерывного процесса и возможная их корректировка.

1. Вычисляется максимальная величина протока maxD по формуле (9), при которой субстрат концентрации Sf полностью вымывается из аппарата, не вступив в процесс синтеза.

Если заданное значение b1³maxD, необходимо выполнить корректировку исходных данных. Корректировка возможна в двух вариантах. По первому варианту принимается новое значение b1, где  вычисляется по формуле (10).

2. Вычисляется максимально возможное значение Sf, при котором можно использовать формулу (19), устанавливающую связь между Sf и D при оптимальном значении Qp.

Максимально возможное значение Sf находится из условия

.                                                                 (16)

Величина протока D по (14) может принимать значения в пределах от 0 до . Величина Sf для этих крайних значений D равна .

Для максимально возможного значения Sf по формулам (14)–(16) получаем

  (17)

Отсюда

.                                 (18)

Максимальное значение maxSf находится по формуле (14), где значение D вычисляется по формуле (18).

Далее, если Sf

,                        (19)

где ;

;

.

Каждому значению Sf в пределах от  до maxSf соответствуют два значения Dopt. Учитывая, что

,                           (20)

знак корня в (19) следует принять «+».

Блок-схема алгоритма 3 показана на рисунке 4.

Числовой пример реализации алгоритма 3.

Заданы следующие численные значения: a1=Dmin=0,1 ч–1; b1=Dmax=0,21 ч–1; Sf=30 г/л.

1. Вычисляем maxD по формуле (9): maxD=0,19969 ч–1.

Так как b1>maxD, то вводим корректировку по D: принимаем D=0,19 ч–1.

2. Вычисляем Dopt по формуле (19) и maxSf по формуле (14): Dopt =0,10405 ч–1; maxSf=25,8183 г/л.

3. Так как Sf>maxSf, то полагаем D=a1=0,1 ч–1.

4. Вычисляем S, X, P, Qp для D=0,1 ч–1: A=0,301629; B=2,704167; C=3,125; S=10,0011 г/л; X=8 г/л; P=33,6 г/л; Qp=D×P=3,36 г/(л×ч).

5. Полагаем D=b1=0,19 ч–1.

6. Вычисляем S, X, P, Qp для D=0,19 ч–1: A=0,190680; B=4,191042; C=11,28125; S=24,40381 г/л; X=2,24 г/л; P=7,28 г/л; Qp=1,38 г/(л×ч).

7. Так как Qp(b1)

Приведем вычисления по второй возможной корректировке.

8. Вычислим  при D=0,21 г/л: = =27,319367 г/л.

Если в корректировке принимается значение по условию  и Sf

9. Принимаем  и Sf

10. Вычисляем maxD: maxD=0,224204 ч–1; D

11. Вычисляем A*, B*, C*: A*=382,05714; B*=83,50382; C*=3,77238.

12. Вычисляем Dopt по формуле (19):

Dopt=0,10928±0,04548 ч–1; D1=0,15476 ч–1; D2=0,0638 ч–1.

13. Так как a1< Dopt

14. Вычисляем показатели процесса при Dopt=0,15476 ч–1 и Sf=24 г/л: A=0,256959; B= =-0,136488; C=7,484977; S=5,1381 г/л; X=7,54 г/л; P=26,35 г/л; Qp=D×P=4,08 г/(л×ч).

Для информационного обеспечения биотехнологических процессов необходимо использовать экспериментальные исследования кинетики процессов с надежной (адекватной) математической обработкой результатов эксперимента. При этом понятно, что в силу ограниченности возможностей экспериментальных исследований они не могут быть выполнены для всей области реального существования процесса синтеза. Более того, экспериментальные исследования кинетики, как правило, проводятся в периодических условиях культивирования, и результаты не всегда могут быть перенесены на непрерывные или полупериодические условия. К тому же в большинстве случаев кинетические соотношения носят нелинейный характер, что в эксперименте часто выражается в плохой воспроизводимости его результатов. При разработке алгоритмов в данной статье эти особенности отражены в том, что в каждом алгоритме необходимо иметь диалоговую составляющую, функция которой заключается в необходимости проверки заданных условий на возможность их реализации.

Литература

1.     Моделирование процессов микробиологического синтеза с нелинейной кинетикой роста микроорганизмов: учеб. пособие / Ю.Л. Гордеева [и др.]. М.: РХТУ им. Д.И. Менделеева, 2011. 100 с.

2.     Agarwal P., Koshy G., Ramirez M. An algorithm for operating a fed-batch fermentor at optimum specific-growth rate. Biotechnol. Bioeng. 1989. № 33, pp. 115–125.

3.     Henson M.A., Seborg D.E. Nonlinear control strategies for continuous fermenters // Chem. Eng. Sci. 1992. № 47, pp. 821–835.

4.     Kumar G.P., Subrahmanya J.V.K., Chidambaram M. Periodic operation of a bioreactor with input multiplicities // Can. J. Chem. Eng. 1993. № 71, pp. 766–770.

5.     McLain R.B. [et al.]. Habituating control for nonsquare nonlinear processes // Ind. Eng. Chem. Res. 1996. № 35, pp. 4067–4077.Заданы допустимая область для Sf : Sfmin