Software & Systems

Разработка информационных систем в биотехнологии включает создание алгоритмического и программного обеспечения для расчета основных показателей процесса по заданным начальным условиям и оценки оптимальных условий проведения процессов, разработку алгоритмов и программ оценки множественности стационарных состояний.

В основе разработки алгоритмов и программ должны быть достоверные данные о кинетике биосинтеза, отвечающей достаточно высоким требованиям во избежание больших ошибок в результатах расчета.

Одним из наиболее хорошо изученных процессов с кинетической точки зрения является процесс биосинтеза получения молочной кислоты – продукта, имеющего широкое применение.

Изучение кинетики проводилось с использованием различных штаммов микроорганизмов, на разных средах, при различных показателях pH [1–5]. В этих исследованиях оценивались кинетические соотношения, отражающие влияние компонентов синтеза на скорость образования биомассы и продукта (молочной кислоты). Обращает на себя внимание то, что часто для описания кинетики используются упрощенные соотношения. Это приводит к потере их информативности. Более глубокое исследование кинетики приведено в работах [3–5]. Оценка кинетических констант в этих исследованиях осуществляется с использованием метода наименьших квадратов и по величине коэффициента корреляции. Так, в работе [4] коэффициент корреляции при периодическом культивировании во всем диапазоне изменения концентрации субстрата от 20 г/л до 100 г/л составил 0,999, а при непрерывном культивировании в диапазоне изменения величины протока от 0,05 ч–1 до 0,91 ч–1 – 0,978–0,999. Таким образом, высокий уровень экспериментальных исследований доказывает наличие функциональной зависимости между данными эксперимента и условиями опыта.

Для оценки скорости образования продукта использованы уравнения

                                                               (1)

                                (2)

где X – концентрация биомассы, г/л; P – концентрация лактата (молочной кислоты), г/л; a – константа растущих ассоциатов по модели Luedeking–Piret, г/г; β – константа нерастущих ассоциатов по модели Luedeking–Piret, г/(г×ч); m – удельная скорость роста по модели Luedeking–Piret, ч–1.

Различие в кинетических соотношениях в работах [3–5] заключается в формальном представлении зависимости удельной скорости образования биомассы от концентрации продукта.

Остановимся более подробно на модели, рассмотренной в [4], так как именно она используется в настоящей работе.

Особенность этой модели заключается в том, что в ней для каждого компонента записывается свое выражение для удельной скорости.

Удельная скорость роста биомассы

. (3)

Удельная скорость образования продукта

.(4)

Удельная скорость расходования субстрата

.(5)

В соотношениях (3)–(5) использованы обозначения: S – концентрация лактозы (субстрата), г/л; Ki – константа ингибирования лактата, г/л; Ks – константа насыщения лактозы, г/л; Pi – предельная концентрация лактата, г/л; Pm – максимальная концентрация лактата, г/л; mmax – максимальная удельная скорость роста, ч–1; qpmax – максимальная удельная скорость производства лактата (продукта), г/(г×ч); qsmax – максимальная удельная скорость утилизации лактозы (субстрата), г/(г×ч).

Анализ соотношений (3)–(5) показывает: если в процессе субстрат полностью исчерпывается (S=0), синтез заканчивается. Далее, если концентрация продукта достигает значения Pmx (соотношение (3)), рост биомассы заканчивается, в то время как образование продукта продолжается (если P

Математическая модель непрерывного процесса синтеза в ферментёре с перемешиванием имеет вид [4]

,                                  (6)

,                   (7)

,                     (8)

где Sf  – концентрация субстрата в поступающем потоке.

Входящие в уравнения модели (6)–(8) величины рассчитываются по следующим формулам:

Mx=Pmx–Pix; Ms=Pms–Pis; Mp=Pmp–Pip;                (9)

;       (10)

;      (11)

.      (12)

Разработка алгоритмов оптимизации

Для дальнейшего использования уравнений (6)–(8) введем следующие обозначения:

; ; .                               (13)

Систему (6)–(8) перепишем в виде

P=Pmx–cD;                                                               (14)

                                              (15)

.                                          (16)

Поскольку целевым продуктом является молочная кислота, величина продуктивности по молочной кислоте формируется из уравнения (14):

Qp=DP=D(Pmx–cD).                                                (17)

Критерий оптимальности Qp в уравнении (17) – функция двух переменных D и S. Особенность этого выражения в том, что S является концентрацией в выходном потоке из реактора. Задача же должна решаться по D и Sf, где Sf – концентрация субстрата в поступающем потоке. Эту концентрацию, если известны D и S, можно вычислить из уравнений материального баланса (14)–(16).

Таким образом, оптимальная задача решается путем оценки D и S, доставляющих максимум Qp, и затем рассчитывается Sf, отвечающая этому максимуму.

Необходимое условие экстремума Qp по D и S:

; .                                              (18)

Запишем эти уравнения:

.                           (19)

Соотношение (19) дает Sopt=(KsxKix)1/2.            (20)

Уравнение

,                                           (21)

где c вычисляется при Sopt.

Из (21) следует .                               (22)

Запишем Nx при S=(KsxKix)1/2:

.                          (23)

Тогда Dopt с учетом (13) и (23) будет иметь вид

.                         (24)

Уравнения (20)–(24) совместно с уравнениями материального баланса используются для разработки алгоритмов оптимизации непрерывного процесса производства молочной кислоты.

Максимальное значение продуктивности будет иметь вид

.       (25)

Разработка алгоритмов связана с конкретной постановкой задачи. Рассмотрим три варианта постановки. Первый – общий. Он не включает какие-либо ограничения на входные показатели процесса Sf и D. В результате реализации этого варианта вычисляются значения Sf и D, доставляющие максимум продуктивности Qp. Для полученных значений вычисляются показатели процесса – S, X, P и maxQp.

Второй вариант включает задание максимально возможной (или допустимой) концентрации субстрата maxSf в поступающем потоке и величину протока D. При решении задачи оптимизации определяется Sf, доставляющее максимум Qp, затем все остальные показатели процесса.

Третий вариант включает задание концентрации субстрата в поступающем потоке Sf. Оцениваются величина протока D и показатели процесса для оптимальных условий.

Особенности алгоритмов по первому и второму вариантам заключаются в том, что они включают одинаковую последовательность вычисления показателей процесса при оптимальных условиях. Отличие – в оценке значений S и D. В первом варианте рассчитывается оптимальное значение D, во втором оно задано. Величина S в обоих вариантах вычисляется по условию оптимальности.

Блок-схема алгоритма оптимизации для первого (общего) варианта показана на рисунке 1, где пунктиром выделена часть блок-схемы, которая полностью повторяется для второго варианта расчета.

Результаты численного расчета по алгоритму 1 по данным таблицы следующие: Sf=46,8 г/л; D=0,5 ч–1; maxQp=12,42 г/(л×ч); S=20,032 г/л; X=3,37 г/л; P=24,9 г/л.

Данные для оптимизации непрерывного процесса получения молочной кислоты

Блок-схема алгоритма оптимизации для второго варианта изображена на рисунке 2.

Учитывая ограничение в постановке задачи, реализация алгоритма для данного варианта требует уточнения некоторых моментов.

Необходимое условие экстремума Qp по (17) в этом варианте будет

                                                                (26)

Решение уравнения (26) имеет вид (20).

Далее необходимо проверить правильность задания величины D по условию

D

Величина Dпред есть значение D, при котором поступающий субстрат с максимально допустимой концентрацией maxSf полностью вымывается из аппарата, не вступив в процесс синтеза.

Очевидно, что в этом случае концентрация субстрата на выходе из аппарата составит maxSf, а концентрация продукта P будет равна нулю.

Таким образом, значение Dпред по (6) будет

         (28)

Если неравенство (27) не выполняется, необходимо корректировать заданное значение D. Это условие отражено в алгоритме на рисунке 2.

Исходные данные для числового расчета по алгоритму 2 следующие: maxSf=100 г/л; D=0,8 ч–1. Значение Dпред, вычисленное по формуле (28), равно 0,84 ч–1. Таким образом, условие (27) выполняется.

Результаты расчета: Sf=30,39 г/л; D=0,8 ч–1; maxQp=7,85 г/(л×ч); S=20,032 г/л; X=1,72 г/л; P=9,82 г/л.

Блок-схема алгоритма оптимизации по третьему варианту показана на рисунке 3.

Учитывая ограничения в третьем варианте, реализация алгоритма также требует некоторых уточнений.

Поскольку в третьем вариант величина Sf  в поступающем потоке задана, оптимизацию следует производить по величине протока D.

Необходимое условие экстремума в этом случае будет иметь вид (21).

В уравнении (21) концентрация S неизвестна, и она может быть вычислена из уравнений материального баланса, записанных с учетом оптимальности, то есть с учетом (21).

Приведем вывод этих уравнений.

Подставляя в (14), получим

.                                          (29)

Максимальное значение продуктивности

.                                            (30)

Используя выражения (9)–(13) для расчета a, b, c и уравнение (7), запишем выражение для X:

.                                                   (31)

Полученные соотношения для D, P, X подставим в уравнение (8). В результате получим

.         (32)

Уравнение (32) является нелинейным алгебраическим уравнением с одной переменной S, решение которого находится по известным алгоритмам решения нелинейных уравнений.

Численный пример реализации алгоритма для третьего варианта оптимизации приведен для Sf=60 г/л. Начальное приближение для решения уравнения (32) было принято равным 33,4 г/л. В результате получено: S=33,3 г/л, D=0,49 ч–1, X=3,45 г/л, P=24,95 г/л, maxQp=12,23 г/(л×ч).

Разработанные алгоритмы оптимизации могут использоваться для практической реализации технологии синтеза молочной кислоты. Следует отметить, что примеры численных расчетов приведены для данных из таблицы, в которой использованы соотношения Kss=Ksp, Pms=Pmp, Kis=Kip, Pis=Pip при отсутствии потерь жизнеспособных микроорганизмов. Таким образом, характер кинетики расходования субстрата является определяющим в кинетике получения продукта.

Литература

1.     Rogers P.L., Bramall L., McDonald I.J. Kinetic analysis of batch and continuous culture of Streptococcus cremoris HP // Can. J. Microbiol., 1978, no. 24, pp. 372–380.

2.     Nielsen J., Nicolajsen K., Villadsen J. Structured modeling of a microbial system: II. Experimental verification of a structured lactic acid fermentation model // Biotechnol. and Bioeng., 1991. no. 38. pp. 11–23.

3.     Monteaguado J.M., Rodriegues L., Rincon J., Fuertes J. Kinetics of lactic asid fermentation by Lactobacillus delbrueckii grown on beet molasses // J. Chem. Tech. Biotechnol., 1997, no. 58, pp. 271–276.

4.     Boonmee M., Leksawasdi N., Bridge W., Rogers P.L. Batch and continuous culture of Lactococcus lactis NZ133: experi­mental date and model development // Biochem. Eng. Journal, 2003, no. 14, pp. 127–135.

5.     Nandasana A.D., Kumar S. Kinetic modeling of lactic asid production from molasses using Enterococcus faecalis RKYJ // Biochem. Eng. Journal, 2008, no. 38, pp. 277–284.