Software & Systems

Аппарат нечеткой логики широко используется при математическом описании сложных систем в условиях неопределенности, позволяя формализовывать знания, представленные в качественной форме, и не требуя выполнения предпосылок применимости теории вероятностей [1–3].

Нечеткие числа – нечеткие переменные, определенные на числовой оси, то есть нечеткое число определяется как нечеткое множество А на множестве действительных чисел R с функцией принадлежности μA(x)Î[0, 1], где x – действительное число, то есть xÎR [2, 3].

Нечеткие числа LR-типа – это разновидность нечетких чисел специального вида, то есть задаваемых по определенным правилам с целью снижения объема вычислений при операциях над ними [2, 3]. Функции принадлежности нечетких чисел LR-типа задаются с помощью не возрастающих на множестве неотрицательных действительных чисел функций действительных переменных L(x) и R(x), удовлетворяющих свойствам:

а) L(–x)=L(x), R(–x)=R(x); б) L(0)=R(0).

Пусть L(x) и R(x) – функции LR-типа. Унимодальное нечеткое число А с модой а (то есть μA(a)=1) c помощью L(x) и R(x) задается следующим образом:

μA(x)=

где а – мода; a>0, b>0 – левый и правый коэффициенты нечеткости.

Таким образом, при заданных L(x) и R(x) нечеткое число задается тройкой (а, a, b).

Предположим, имеются нечеткие числа LR-ти­па =(m, a, b)LR и =(n, g, d)LR.

Арифметические операции над нечеткими LR-числами определяются следующим образом:

(m, a, b)LR+(n, g, d)LR=(m+n, a+g, b+d)LR,

(m, a, b)LR×(n, g, d)LR=(mn, an+gm, bn+dm)LR,

>0, >0

–(m, a, b)LR= (–m, b, a)LR,

(m, a, b)–1LR=, >0.

Нечеткое число =(m, a, b)LR – симметричное нечеткое число LR-типа, если a=b.

Теорема. Пусть имеются симметричные нечеткие числа LR-типа: =(m, a, a)LR и =(m, g, g)LR. Сопоставим им комплексные числа «a= =m+ja и «b=n+jg, где j=.

Тогда арифметические операции над симметричными нечеткими числами LR-типа  и  соответствуют операциям над комплексными числами: +«a+b, – «–, , , где =m–ja – комплексное сопряженное по отношению к .

Доказательство.

Сравним результаты арифметических операций над нечеткими числами  и их комплексными изображениями  и  [2–4]:

=(m+n, a+g, a+g)LR,

a+b=(m+n)+j(a+g).

Таким образом, +«a+b; ×=(m×n, m×g+n×a, m×g+n×a)LR, a×b=(m+ja)×(n+jg)=m×n+j(m×g+n×a)–a×g.

С учетом того, что для нечетких чисел m×n>>a×g, в практических расчетах можно считать a×b»m×n+j(m×g+n×a).

Таким образом, ׫a×b, –=(–m, a, a)LR, –=–m+j×a.

Таким образом, –«–, , m>0, .

С учетом того, что для нечетких чисел , в практических расчетах можно считать

, «.

Теорема доказана.

На рисунке показана графическая иллюстрация выполнения арифметических операций сложения и вычитания над нечеткими числами на комплексной плоскости.

Как известно, широко распространенные системы компьютерной математики (MATLAB, MathCAD, Maple и др.) содержат средства, позволяющие выполнять арифметические операции над комплексными числами, причем как в численном, так и в символьном виде. В то же время указанные системы компьютерной математики в своей стандартной комплектации не содержат средства выполнения арифметических операций над нечеткими числами. Приведенная ранее теорема поз- воляет сводить арифметические операции над симметричными нечеткими числами LR-типа к арифметическим операциям над комплексными числами.

В качестве примера рассмотрим расчет чистого приведенного дохода в условиях неопределенности [5]. Предположим, что поступления от инвестиционного проекта , отток денежных средств  и индекс инфляции  в m-м месяце заданы симметричными нечеткими числами LR-типа. Формула чистого приведенного дохода за N месяцев имеет вид [5]

.

Для расчета комплексным методом согласно доказанной теореме необходимо произвести следующие действия:

–      перейти от нечетких чисел к комплексным: , , ;

–      произвести вычисления по формуле

–      осуществить обратный переход от комплексных чисел к нечетким:

Приведенные в статье результаты позволяют упростить использование систем компьютерной математики (MATLAB, MathCAD, Maple и др.) в практике нечеткого моделирования и представлять результаты расчетов в наглядной форме в виде векторных диаграмм на комплексной плоскости.

Литература

1.     Усков А.А., Кузьмин А.В. Интеллектуальные технологии управления. Искусственные нейронные сети и нечеткая логика. М.: Горячая Линия–Телеком, 2004.

2.     Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях. Тюмень: Изд-во Тюменского гос. ун-та, 2000.

3.     Круглов В.В., Усков А.А. Два подхода к самоорганизации базы правил системы нечеткого логического вывода // Информационные технологии. 2006. № 2. С. 14–18.

4.     Берд Дж. Инженерная математика. М.: Додэка-XXI, 2008. (Сер. Карманный справочник).

5.     Кучарина Е.А. Инвестиционный анализ. СПб: Пи- тер, 2006.

References

1.  Uskov A.A., Kuzmin A.V.,  Intellektualnye tekhnologii upravleniya. Iskusstvennye neyronnye seti i nechyotkaya logika  [In-telligent management technologies. Artificial neural network and fuzzy logics], Moscow, Goryachaya Liniya–Telekom, 2004.

2.  Altunin A.E., Semukhin M.V.,  Modeli i algoritmy prinya-tiya resheniy v nechetkikh usloviyakh  [Models and decision-making behavior under fuzzy conditions], Tyumen, Tyumen State Univ., 2000.

3.  Kruglov V.V., Uskov A.A.,  Informatsionnye tekhnologii, [Information Technology], 2006, no. 2, pp. 14–18.

4.  John Bird,  Inzhenernaya matematika  [Engineering Mathe-matics], Moscow, Dodeka-XXI, 2008.

5.  Kucharina E.A.,  Investitsionny analiz  [Investment analy-sis], St. Petersburg, PITER, 2006.