Software & Systems

В процессе управления организационно-техни­ческой системой ЛПР выбирает способ решения задач с учетом предполагаемых действий противника и условий окружающей среды.

Выполнением мероприятий обеспечения создаются благоприятные условия для своих действий и затрудняются действия противника. Причем степень создания таких условий может носить неопределенный характер в смысле их влияния на действия сторон. При моделировании это обстоятельство позволяет рассматривать влияние обеспечивающих мероприятий по аналогии с влиянием среды.

Если заданы множества альтернативных решений каждой из сторон, множества состояний, характеризующих обстановку и результаты обеспечивающих мероприятий, и известны количественные оценки результатов взаимодействия указанных факторов, то для моделирования поддержки принятия решений может быть использован теоретико-игровой подход.

Случай, когда цели действий сторон противоположны, в теории игр принято описывать моделями антагонистических (матричных – при конечных множествах стратегий сторон) игр. Аппарат бескоалиционных (биматричных) игр позволяет моделировать действия, когда цели сторон различны, но не противоположны. Для учета влияния среды могут использоваться  критерии теории статистических решений (игры с природой).

Постановка задачи

Особенность исследуемой задачи в необходимости одновременного моделирования выбора сторонами способа действий (альтернатив) и влияния состояний среды, что в общем случае требует использования различных методов.

Такой характер воздействия сторон друг на друга выражается элементами общей матрицы составной игры (функцией выигрыша для игр на бесконечных множествах стратегий), которые представляют отображение игровых ситуаций как результат взаимодействия сторон. Многомерная общая матрица состоит из двухмерных матриц игр-компонентов составной игры.

В практике исследования процессов принятия решений возможен случай, когда моделируется игра, в которой участвуют I сторон (I=2, 3, …, N; NÎ), и каждая из сторон одновременно участвует еще в одной в игре с (I+1)-й стороной.

Пусть Ф, D, Q – это множества альтернатив (решений, состояний) сторон I, II и III соответственно. Рассмотрим матричную игру ГА, в которой на результат выбора пары стратегий (ji, di) сторонами I (jiÎ Ф, i=1, …, m) и II (djÎD, j=1, …, n) оказывает непреднамеренное воздействие сторона III, которое определяется состояниями qkÎQ (k=1, …, l) и представляет собой факторы среды (природы), то есть условия, в которых взаимодействуют стороны I и II.

Каждый элемент матрицы игры A отображает ситуацию (ji, dj, qk), заданную на прямом произведении Ф´D´Q: A=fijk(ji, dj, qk) m´n´l.

Тогда такую игру ГА можно записать в следующем виде: ГА=áФ, D, Q, Hñ=áФ, Q, H|D=di (i=1, …, n)ñÇáD, Q, H|Ф=ji(i=1, …, m)ñÇáФ, D, H|Q=qk (k=1, …, l)ñ, где Ф={ji, i=1, …, m} – множество альтернатив (стратегий) стороны I; D={dj, j=1, …, n} – такое же множество стороны II; Q={qk, k=1, …, l} – множество состояний (стратегий) стороны III; H: Ф´D´Q®A – функция выигрыша, заданная матрицей A=||aijk||m´n´l стратегий сторон I, II, III.

Для конечных множеств Ф, D, Q стратегий сторон матрица А игры ГА представляется трехмерной таблицей (см. рис.).

Таким образом, получена модель игры, состоящая из матричной игры и двух игр с природой, то есть статистических решений. В такой игре стороны одновременно участвуют в нескольких играх, принадлежащих разным классам, поэтому она названа составной.

Составная игра на матричной и статистических играх

Формализация оптимальности в составной игре должна основываться на реальных представлениях участников конфликта о том, что является оптимальным. Под принципом оптимальности понимается условие, которому должны удовлетворять ситуации, чтобы их можно было рассматривать как разумные цели для участников конфликта. Наиболее естественным представлением об оптимальном решении служит получение возможно большего выигрыша игроком в зависимости от выбора стратегий остальными участниками игры. Так как цель достигается в результате разумных действий всех игроков, их оптимальное поведение приводит к ситуациям равновесия.

Рассмотрение игр-компонентов составной игры может происходить в различной последовательности. Так, можно рассмотреть l матричных игр-компонентов стороны I и стороны II, а затем проверить оптимальность либо устойчивость решения, обобщенного на k=1, …, l матрицах  В этом случае понадобится рассмотреть в общей сложности l игр-компонентов. Либо можно рассмотреть по отдельности m статистических игр-компонентов стороны I со стороной III, n статистических игр-компонентов стороны II со стороной III, а затем искать решение матричной игры стороны I со стороной II. Тогда понадобится рассмотреть (m+n+1) игр-компонентов.

Если в результате решения l матричных игр для каждого состояния qk, k=1, …, l, среды получены множества Фk* и Qk* решений в чистых стратегиях, соответствующих седловым точкам, то можно рассмотреть l их пересечений . Для тривиального случая существования непустого ядра общего пересечения это ядро и будет решением составной игры.

Общий подход к решению составных игр состоит в сужении множеств допустимых стратегий сторон сначала последовательным решением N игр каждой из I сторон с (I+1)-й стороной, а затем нахождением решения игры между сторонами I на декартовом произведении суженных множеств их альтернатив, обычно в смешанных стратегиях. 

Такой подход требует доказательства существования решения составной игры, которое может быть либо пересечением суженных множеств стратегий, либо смешанной стратегией, построенной на сужениях множеств стратегий.

Другой подход может заключаться в нахождении оптимальных стратегий, возможно, смешанных, в частной игре одного класса (то есть входящей в составную игру в качестве компонента) при фиксированных стратегиях других частичных игр и последующем построении на найденных оптимальных стратегиях обобщенного вектора смешанных стратегий.

Рассмотрим применение общего подхода для построенной игры ГА. Тогда можно найти сужение  множества допустимых стратегий в игре с природой стороны I: Г¢А=áФ, Q, A|D=dj(j=1, …, n)ñ и сужение  множества допустимых стратегий в игре с природой стороны II: Г¢¢А=áD, Q, A| Ф=ji (i=1, …, m)ñ.

Переходя от матрицы А к матрице рисков P:A®R=||rijk|| и применяя критерий Вальда к каждой из n двухмерных матриц P:Aj®Rj=||rijk|dj= =const||, получим сужение  множества Ф:

Аналогично для m двухмерных матриц Rj=||rijk|ji=const|| будем иметь сужение  множества D:

.

Полученному подмножеству ´´Q соответствует подматрица выигрышей =H(´ ´´Q) (возможно, состоящая из единственного элемента).

Решение матричной игры =á , ñ находится в общем случае в смешанных стратегиях:

,

и вычисляется ее значение.

На основании изложенного можно сделать следующие выводы.

Модели составных игр, порожденные входящими в них играми различных теоретико-игровых классов, можно рассматривать как семейство Z составных игр.

Классами этого семейства будут комбинации классов составляющих игр. Выше была рассмотрена модель матрично-статистического класса составных игр. Примерами могут служить матрично-биматричный, антагонистически-статисти­ческий, бескоалиционно-антагонистический, биматрично-статистический, бескоалиционно-ста­тистический и другие классы составных игр. Для каждого из них, очевидно, должны разрабатываться свои методы решения.

Размерность составной игры будем определять как размерность ее матрицы (пространства стратегий – для игр с непрерывными множествами альтернатив). Тогда размерность будет зависеть от числа сторон, участвующих во входящих в ее состав играх.

Например, в классе матрично-статистических игр каждая игра будет иметь размерность, равную трем (трехмерная матрица составной игры). Каждая матрично-статистическая игра состоит из l матричных игр c l матрицами (по числу состояний среды) и (m+n) статистических игр c (m+n) матрицами (по числу стратегий сторон в игре с нулевой суммой) и допускает lmn ситуаций игры. В общем случае эти параметры составной игры можно оценить комбинаторными методами с помощью подсчета числа сочетаний.

Литература

1.     Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений. М.: Логос, 2000. 296 с.

2.     Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Шевкопляс Е.В. Теория игр. СПб: БХВ-Петербург, 2012. 432 с.

3.     Системный анализ и принятие решений; [под ред. В.Н. Волковой, В.Н. Козлова]. М.: Высш. шк., 2004. 616 с. 

4.     Суздаль В.Г. Теория игр для флота. М.: Воениздат, 1976. 317 с. 

5.     Трухаев Р.И. Модели принятия решений в условиях неопределенности. М.: Наука, 1981. 258 с.

References

1.     Larichev O.I. Teoriya i metody prinyatiya resheniy [The theory and methods of decision making]. Moscow, Logos Publ., 2000, 296 p. (in Russ.).

2.     Petrosyan L.A., Zenkevich N.A., Shevkoplyas E.V. Teoriya igr [Game theory]. St. Petersburg, BHV-Petersburg Publ., 2012, 432 p. (in Russ.).

3.     Volkova V.N., Kozlov V.N. Sistemny analiz i prinyatie resheniy [System analysis and decision making]. Moscow, Vyssh. shk. Publ., 2004, 616 p. (in Russ.).

4.     Suzdal V.G. Teoriya igr dlya flota [Game theory for the fleet]. Moscow, Military Publ., 1976, 317 p. (in Russ.).

5.     Trukhaev R.I. Modeli prinyatiya resheniy v usloviyakh neopredelennosti [Models of decision making under uncertainty]. Moscow, Nauka Publ., 1981, 258 p. (in Russ.).