Software & Systems

Технологический процесс передачи мощности от индуктора к вторичному телу с укрупненной блок-схемой ПО представлен на рисунке 1. В массиве вторичного тела (верхняя часть рисунка) необходимо обеспечить управляемый процесс позиционирования области выделения максимальной мощности, например, мощности разогрева вторичного тела токами Фуко [1–5]. Для наглядности показана пиктограмма перемещения экстремума мощности (P) вдоль линейной координаты (x). В первичном контуре (индукторе) этим максимумам мощности соответствуют пучности напряжения u(x, t) в длинной линии. Энергия в индуктор поступает от двух управляемых источников напряжения E1(t) и E2(t) с управляемым вектором: амплитуда (A), частота (w) и фаза (j) для каждого:

                                                        (1)

В качестве отклика объекта на энергетическое воздействие контроллером воспринимается вектор напряжений и токов в конце и начале линии (длина линии l, источник не идеален – имеет внутреннее сопротивление):

                                               (2)

Векторы (2) используются для оценки качества энергетического воздействия на вторичное тело через идентификацию его параметров (блок 4 ПО микроконтроллера (mC), рис. 1). Кроме того, ПО mC включает три блока (1–3) с традиционными функциями организации алгоритма управления: ини- циализации аппаратных средств mC, выработки стратегии управления и математической модели процесса. Рассмотрим подробно математическую модель, положенную в основу ПО блока 3 (рис. 1).

Как известно, телеграфные уравнения описывают электромагнитные процессы во времени (t) и пространстве (x) в длинных линиях – линиях с распределенными параметрами [6–9]. Решение уравнений находят во временной области с использованием разложения в ряд Фурье напряжений источников на концах линии и математического аппарата комплексных переменных. Есть трудности в учете начальных условий на концах линии, в том числе и при использовании прямого решения дифференциальных уравнений двух переменных во временной области [10–13]. Предлагается метод решения телеграфных уравнений для двух регулируемых источников напряжения на концах линии. При решении уравнений предполагается возможность управления точностью процесса вычислений. В этом смысле метод близок к численным про- цедурам и хорошо адаптируется к средствам управления, выполненным на базе микроконтроллера.

Расчетная схема для линейного фрагмента dx длинной линии l изображена на рисунке 1 в блоке «индуктор». Через R, L, C, Y обозначены, соответственно, распределенные активное сопротивление, индуктивность, емкость и проводимость, i(x, t) и u(x, t) – ток и напряжение.

Управление положением пучностей и узлов излучения планируется осуществлять двумя управляемыми источниками напряжения E1(t) и E2(t), подключенными к концам линии:

                            (3)

Законы изменения напряжения на источниках взаимозависимы, формируются микроконтроллером µС при сопоставлении технологического задания (местоположение узлов и пучностей излуче- ния – блок 2 (рис. 1)) и управляемых характеристик источников напряжения – их амплитуд (A1, A2), частот (ω1, ω2) и фаз (φ1, φ2).

Таким образом, систему регулирования положения пучностей и узлов излучения можно определить как систему регулирования по управляющему воздействию без обратных связей. Вектор обратных связей (2) используется на этапе анализа результата энергетического воздействия на вторичное тело.

Адаптируем исходную запись системы теле- графных уравнений к поставленной задаче управ- ления:

                                           (4)

Рассмотрим решение для самого общего слу- чая – наличие двух управляемых источников напряжения на концах линии с оригинальными характеристиками. Тогда решение дифференциальных уравнений будет состоять из двух частей: свободной и вынужденной. В системе (4) продифференцируем первое из уравнений по переменной x, второе – по переменной t и подставим в левую часть первого выражения значение производной  из второго:

uxx'' – LCutt''– (LY + RC)⋅ut' – RY = 0.               (5)

Для компактности записи порядок производной переменных в (5) показан верхним индексом, а независимые переменные, по которым берется дифференциал, – нижним. Начальные и конечные условия по положению и времени для напряжения в линии зададим системой уравнений:

                                                (6)

Для получения решения задачи (5), (6) в виде ряда целых полуволн гармоник синусоидальной функции произведем замену переменной в (5), (6) с целью обнуления краевых условий на концах линии. Новую переменную обозначим . Замена переменных имеет вид

.                              (7)

Очевидно, что  .

Используя (5), подготовим массив частных производных для :

             (8)

Используя (3), (4) и (6), получим уравнение для новой переменной  решение которого можно будет искать в виде разложения в ряд Фурье по собственным функциям однородной краевой зада- чи [14]:

                (9)

где используется обозначение ; назначение верхних и нижних индексов прежнее.

Принимая во внимание (6) и (7), могут быть получены начальные и краевые условия для новой переменной

                          (10)

Как было отмечено, решение в поле новой переменной ищется в форме

,                                  (11)

где n – номер гармоники (целое число); Tn(t) – изменение во времени амплитуды гармоники номер n;  – собственные функции.

Переходя к новой переменной, подставим (11) в (9) и получим

         (12)

где в левой части равенства введено обозначение

                     (13)

Левая часть выражения (12) будет равна правой части, если амплитуда каждой из гармоник левой части этого выражения будет равна амплитуде соответствующей гармоники правой части. Разложим правую часть выражения (12) в ряд Фурье с ядром преобразования: . Тогда баланс для (12) записывается так:

            (14)

где

Упростить выражение (14) можно, взяв интеграл в правой части, учитывая, что производные по времени питающих напряжений не зависят от x. При этом вычисление определенных интегралов, как и дифференциалов, не вызывает затруднений. Приведя подобные, получим:

(15)

Алгоритм поиска распределения напряжения вдоль длинной линии состоит из нескольких шагов.

1.    Для известных характеристик линии и подключенных источников напряжения рассчитываются по (15) амплитуды гармоник сигнала . Число гармоник ограничивается требуемой точностью, балансом мощностей источников и передаваемого в линию сигнала или другими критериями.

2.    По (11) определяется выражение для новой (вспомогательной) переменной. При этом постоянные интегрирования в (15) определяются из начальных условий (10).

3.    Используя (7), ищется распределение напряжения по длине линии.

Три данных шага алгоритма математических расчетов дают базу для формирования итерационной процедуры поиска нужного распределения пучностей напряжения вдоль длинной линии (содержание блока 3 ПО mC, рис. 1).

В качестве иллюстрации предложен расчет модуля напряжения в длинной линии (рис. 2) со следующими параметрами: l = 9 м; R = 10-3 Ом/м; L = 10-6 Гн/м; C = 510-11 Ф/м; Y = 310-6 См/м; А1 = 1 В; w1 =2π1006 с-1; j1 = 0.

Пример был решен с использованием пакета символьной математики Maple для пяти первых членов ряда (11): n = 5. На рисунке 2 изменение фазы модуля напряжения вдоль линии в функции времени показано модуляцией цвета: заметна деформация картины распределения модуля напряжения вдоль линии в функции времени, для поверхности (б) характерно нарастающее увеличение аргумента, что находит отражение в монохромности рисунка. Частота напряжения верно соответствует числу полупериодов пучностей, укладывающихся по длине линии.

Предложенный аналитический метод решения телеграфных уравнений может быть востребован в случаях наличия управляемых источников на концах линии и появляющейся возможности программного задания местоположения узлов и пучностей напряжения вдоль линии. Математическую модель предполагается использовать, например, в установках местного прогрева вторичного тела с индуктором, в дефектоскопии.

Литература

1.     Sordiashie E. Electromagnetic harvesting to power energy management sensors in the built environment. Thesis. Nebraska, 2012, 113 p.

2.     Mardiguian M. Simple method for predicting a cable shielding factor based on transfer impedance. EMC Directory & design guide: Interference Technology, Plymouth Meeting. Pennsylvania, 2012, pp. 1–5.

3.     Ahmadi H., Mohseni S., Shayegani Akmal A.A. Electromagnetic fields near transmission lines – problems and solutions. Iran. J. Environ. Health. Sci. Eng., 2010, vol. 7, no. 2, pp. 181–188.

4.     Rudnev V., Loveless D., Cook R. Handbook of Induction Heating. 2nd Ed. Taylor & Francis Group, LLC, 2017, 719 p.

5.     Нефедов В.И., Хахин В.И., Битюков В.К. и др. Метрология и радиоизмерения; [под ред. В.И. Нефедова]. М.: Высш. школа, 2006. 526 с.

6.     Атабеков Г.И. Основы теории цепей. СПб: Лань, 2009. 432 с.

7.     Корн Г.А. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). Определения, теоремы, формулы; [пер. с англ.]. СПб: Лань, 2003. 831 с.

8.     Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. М.: Гардарики, 2006. 701 с.

9.     Улахович Д.А. Основы теории линейных электрических цепей. СПб: БХВ-Петербург, 2009. 816 с.

10.   Smith P.W. Transient electronics: Pulsed circuit technology. Chichester: John Wiley & Sons, 2002, 272 p.

11.   Карлов Н.В. Колебания, волны, структуры. М.: Физ- матлит, 2008. 496 с.

12.   Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 2003. 504 с.

13.   Кудряшов Ю.Б., Петров Ю.Ф., Рубин А.Б. Радиационная биофизика: радиочастотные и микроволновые электромаг- нитные излучения. М.: Физматлит, 2008. 184 с.

14.   Эдвардс Ч.Г., Пенни Д.Э. Дифференциальные уравнения и краевые задачи. Моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB. М.: Вильямс, 2008. 1104 с.

References

1. Sordiashie E. Electromagnetic Harvesting to Power Energy Management Sensors in the Built Environment. Thesis. Nebraska, 2012, 113 p.
2. Mardiguian M. Simple method for predicting a cable shielding factor based on transfer impedance. EMC Directory & Design Guide: Interference Technology, Plymouth Meeting. Pennsylvania, 2012, pp. 1–5.
3. Ahmadi H., Mohseni S., Shayegani Akmal A.A. Electromagnetic fields near transmission lines – problems and solutions. Iran. J. Environ. Health. Sci. Eng. 2010, vol. 7, no. 2, pp. 181–188.
4. Rudnev V., Loveless D., Cook R. Handbook of Induction Heating. 2nd ed. Taylor & Francis Group, LLC, 2017,
   719 p.
5. Nefedov V.I., Khakhin V.I., Bityukov V.K., Sigov A.S. Metrology and Radio Measurements. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 2006, 526 p.
6. Atabekov G.I. Fundamentals of the Theory of Chains. St. Petersburg, Lan Publ., 2009, 432 p.
7. Korn Gr.A., Korn Th.M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. McGraw-Hill Publ., 1968, 1130 p. (Russ. ed.: St. Petersburg, Lan Publ., 2003, 831 p.).
8. Bessonov L.A. Theoretical Foundations of Electrical Engineering. Electrical Circuits. Moscow, Gardariki Publ., 2006, 701 p.
9. Ulakhovich D.A. Fundamentals of the Theory of Linear Electric Circuits. St. Petersburg, BHV-Peterburg Publ., 2009, 816 p.
10. Smith P.W. Transient Electronics: Pulsed Circuit Technology. Chichester, John Wiley & Sons Publ., 2002, 272 p.
11. Karlov N.V. Oscillations, Waves, Structures. Moscow, Fizmatlit Publ., 2008, 496 p.
12. Tamm I.E. Fundamentals of the Theory of Electricity. Moscow, Nauka Publ., 2003, 504 p.
13. Kudryashov Yu.B., Petrov Yu.F., Rubin A.B. Radiation Biophysics: Radio-Frequency and Microwave Electromagnetic Radiation. Moscow, Fizmatlit Publ., 2008, 184 p.
14. Edvards Ch.G., Penni D.E. Differential Equations and Boundary Value Problems. Modeling and Computation with Mathematica, Maple and MATLAB. Moscow, Vilyams Publ., 2008, 1104 p.