Software & Systems

Микроволновые лазеры на основе двумерных материалов чрезвычайно интересны бла-  годаря своим малым размерам и низким порогам [1]. Численное моделирование таких микролазеров основано на решении задачи на   собственные значения оператора Гельмгольца на плоскости. В классическом подходе частоты рассматриваются как комплекснозначные собственные значения (Complex-Frequency Eigen­value Problem, CFEP). Однако этот подход имеет ряд недостатков и не учитывает некото-  рые важные особенности модели (рассматрива-  ются только пассивные микрорезонаторы). Наряду с CFEP известна формулировка, первоначально предложенная в [2], в которой предполагается, что собственные числа являются вещественными, а микрорезонатор считается активным (Lasing Eigenvalue Problem, LEP).   В настоящей работе с целью использования одной теоретической основы для обеих моделей LEP и CFEP рассмотрена модель, называемая обобщенной задачей на собственные значения относительно комплексной частоты (Genera­lized Complex-Frequency Eigenvalue Problem, GCFEP) [3].

Для решения GCFEP двумерная задача для уравнения Гельмгольца сведена к нелинейной задаче на собственные значения системы граничных интегральных уравнений Мюллера [4]. В общем случае собственные значения этой задачи распадаются на два множества – множество истинных собственных значений, соответствующих GCFEP, и множество фиктивных собственных значений, соответствующих так называемой вывернутой наизнанку задаче [5]. Система граничных интегральных уравнений Мюллера имеет фиктивные собственные значения, поскольку показатель преломления   в активной области в формулировке GCFEP – комплексное число. Если электромагнитные характеристики в каждой области являются   вещественными, то задача, вывернутая наиз­нанку, имеет только тривиальное решение, и система Мюллера не имеет фиктивных собственных значений [5]. Первоначально Мюллер предложил использовать систему в этом конкретном случае. Тогда система уравнений Мюллера не имеет ни одного вещественного собственного значения. Все собственные значения комплекснозначные [6]. Более того, эта система является системой Фредгольма [7]. Следовательно, она хорошо подходит для решения задачи рассеяния с вещественнозначной частотой в пассивном электромагнитном поле.

Фиктивные собственные значения рассмотрены в [8] при решении внешней задачи Неймана для уравнения Гельмгольца. В [6] предложены различные модификации интегральных уравнений, которые позволяют избежать случайного вычисления фиктивных собственных значений.

В настоящей работе рассмотрен спектр нелинейной задачи на собственные значения системы граничных интегральных уравнений Мюллера, порожденной GCFEP. Получено условие, при котором исходная GCFEP и система граничных интегральных уравнений Мюллера эквивалентны. Численно подтверждено, что задача на собственные значения системы Мюллера содержит фиктивные решения. При этом наборы истинных и фиктивных собственных значений явно отделяются друг от друга.

Обобщенная задача на собственные значения   относительно комплексной частоты

Предположим, что граница Г является дважды непрерывно дифференцируемой кривой, и введем внешний нормальный единичный вектор n к этой границе (рис. 1). Обозначим через U пространство всех комплекснозначных функций, непрерывных на   и дважды непрерывно дифференцируемых на Wi, We. Пусть  – поверхность Римана функции lnk. Для любого заданного значения параметра gΠненулевую функцию u Î U будем называть собственной функцией GCFEP, соответствующей собственному значению k Î , если выполняются

– уравнения Гельмгольца

                                 (1)

                                 (2)

– граничные условия

             (3)

– условие излучения Рейхардта [3, 9]

             (4)

Здесь kj = kvj, u = H3,  в случае H-поляризации и u = E3, hj = 1 в случае E-поляризации, j = i, e;  – функция Ханкеля первого рода порядка l; r и j – полярные координаты точки x; u–(u+) – предельное значение функции изнутри (извне) контура Г.

Следуя [10], предположим, что предельные значения нормальной производной на границе существуют в том смысле, что пределы

(5)

существуют равномерно на Г. Заметим, что для любого решения u уравнения (1) в We ряд (4) сходится равномерно и абсолютно в любой замкнутой области a £ r £ b, где a и b – произвольные числа, такие что R0 < a < b < ¥; и этот ряд бесконечно дифференцируем по частям [3].

Обобщенная задача на собственные   значения относительно комплексной   частоты, вывернутая наизнанку

Предположим, что показатель преломления в ограниченной области Wi есть ve = ae, а показатель преломления в неограниченной области We есть vi = ai – ig (рис. 2). Для любого заданного значения параметра g Î  ненулевую функцию v Î U будем называть собственной функцией GCFEP, вывернутой наизнанку в случае E-поляризации, соответствующей собственному значению k Î , если выполняются соотношения

                                 (6)

                                 (7)

                         (8)

             (9)

  Система граничных интегральных   уравнений Мюллера

В [11] доказано, что если  является собственной функцией задачи (1)–(4), соответ-  ствующей собственному значению k Î  при произвольном значении параметра g Î , то справедливы следующие интегральные представления [10]:

  (10)

   (11)

где  m = i, e. Перейдем к пределу в (10) и используем известное свойство потенциалов двойного слоя и непрерывность потенциалов простого слоя, получим

      (12)

Аналогичным образом из (11) получим, что

       (13)

Использовав условия на границе (3), определим функции

 (14)

Почленно сложим (12), (13) и, использовав (14), получим

 (15)

Вычислив нормальные производные в (10) и (11), перейдя к пределу x ® Г, использовав определения (14) и хорошо известные свойства потенциалов [10], получим

x Î Г.                                                        (16)

Набор интегральных уравнений (15), (16) называется системой граничных интегральных уравнений Мюллера (Muller BIEs) [4]. Запи-  шем систему в более удобной форме:

   

   

где ядра интегральных уравнений определяются как

      (17)

 (18)

 (19)

   (20)

В [12] доказано, что ядро (17) непрерывно, (18) непрерывно при hi = hj и имеет слабую особенность при hi ¹ hj, ядро (19) имеет слабую особенность, ядро (20) непрерывно.

Эквивалентность

Теорема. Пусть дано значение параметра   g Î . Справедливы следующие утверждения.

1. Если u Î U – собственная функция задачи (1)–(4), соответствующая собственному значению k Î , тогда определенные в (14) функции j и y принадлежат банахову пространству С(Г) непрерывных на Г функций и являются нетривиальным решением (j, y) системы (15), (16) с тем же значением k.

2. Пусть для данного значения k Î  система граничных интегральных уравнений Мюллера  (15), (16) имеет нетривиальное решение   (j, y) Î С(Г) ´ С(Г) и GCFEP, вывернутая наизнанку, (6)–(9), имеет только тривиальное решение, тогда функция u, определенная как

x Î Wi ,                                                      (21)

x Î We,                                                      (22)

является собственной функцией исходной GCFEP (1)–(4).

Доказательство. Докажем первое утверждение теоремы. Каждая собственная функция (1)–(4) непрерывна на  и , следовательно, u+ и u– принадлежат С(Г). Значит, функции ¶u+/¶n и ¶u–/¶n, определенные в (5), принадлежат С(Г) как равномерные пределы непрерывных функций. Очевидно, что определенный в (14) вектор (j, y) – решение (15), (16) по построению этой системы уравнений. Предположим, что j = y = 0, тогда, использовав (10), (11) и (14), получим u = 0, x Î , что противоречит предположению, что u – собственная функция задачи (1)–(4).

Докажем второе утверждение теоремы. Пусть вектор (j, y) Î С(Г) ´ С(Г) является решением (15), (16), соответствующим значению параметра g Î  и собственному значению   k Î . Определим функцию

x Î Wi ,                                                      (23)

x Î We.                                                      (24)

Докажем, что функция v удовлетворяет всем условиям (6)–(9) GCFEP, вывернутой наизнанку. Во-первых, отметим, что функция v дважды непрерывно дифференцируема на Wi, We и удовлетворяет (6), (7) как линейная комбинация потенциалов простого и двойного слоев с непрерывными плотностями [10].   Во-вторых, эта линейная комбинация непрерывна на  и . Пределы (5) существуют равномерно на Г. Использовав теорему сло-  жения Графа [13], видим, что функция Фi удовлетворяет (9). Тогда из (24) следует, что функция v удовлетворяет условию излучения Рейхардта (9).

Граничные условия (8) также выполняются. Проверим первое условие. Перейдем к пределу в (23), (24) при x ® Г и используем свойства потенциалов двойного слоя и непрерывность потенциалов простого слоя [10]. Получим

        (25)

         (26)

Следовательно,

 

x Î Г.                                                        (27)

Поскольку (j, y) – решение (15), получим   v– – v+ = 0, x Î Г.

Проверим второе условие в (8). Вычислим нормальные производные в (23) и (24), перейдем к пределу при x ® Г и используем хорошо известные свойства потенциалов [10]. Получим

x Î Г.                                                        (28)

Поскольку (j, y)  – решение (16), получим ¶v–/¶n – ¶v+/¶n = 0, x Î Г. Таким образом, функция v удовлетворяет всем условиям (6)–(9) GCFEP, вывернутой наизнанку.

Определим функцию

x Î Wi ,

x Î We.

Использовав свойства потенциалов двойного и простого слоев, вычислим предельные значения функции u и ее нормальных производных. Объединив их с (25)–(28), получим

x Î Г,

 x Î Г,

x Î Г,

+

x Î Г.

Таким образом,

                      (29)

x Î Г.                                                        (30)

Согласно предположению теоремы, имеем

v(z) = 0, x Î                                     (31)

Следовательно, использовав (29)–(31), получим

x Î Г,                                                        (32)

что соответствует определению (14).

Из (32) следует, что граничные условия (3) выполняются для u. Рассуждая аналогичным образом, получим, что для функции u выпол-  няются все другие условия исходной GCFEP (1)–(4). Таким образом, функция u, определенная в (21), (22), является собственной функцией исходной GCFEP (1)–(4). Предположим, что u = 0. Использовав (32), получим j = 0   и y = 0, x Î Г, что противоречит утверждению теоремы о том, что (j, y) – нетривиальное решение системы Мюллера. Наконец, заметим, что, подставив (32) в (21), (22), получим интегральные представления (10), (11).

Вычислительные эксперименты

Проведем серию вычислительных экспериментов, направленных на иллюстрацию утверждений теоремы эквивалентности. Сначала опишем геометрию микрорезонатора. Предположим, что микрорезонатор имеет форму круга единичного радиуса. Внутренняя область микрорезонатора Wi  представляет собой активную область, а внешняя область We  – окружающую среду. Показатель преломления в активной области vi = ai – ig, где действительная часть показателя преломления ai = 2.63. Показатель преломления окружающей среды ve = 1.

Определим собственные значения k, соответствующие значениям параметра g для H-   и E-поляризаций. Решения исходной GCFEP (1)–(4) и вывернутой наизнанку GCFEP (6)–(9) будем искать методом разделения переменных. Решения системы граничных интегральных уравнений Мюллера (15), (16) найдем, использовав метод Галеркина.

Проиллюстрируем первое утверждение теоремы для моды с номером 8 как для H-поляризации, так и для E-поляризации. Рисунок 3   соответствует случаю Е-поляризации, вдоль вертикальной оси расположены значения параметра g, вдоль горизонтальной – значения k. Сплошные линии соответствуют нулям действительной части определителя, полученного путем применения метода разделения переменных к исходной GCFEP, пунктирные – нулям мнимой части того же определителя. Таким образом, в точках пересечения пунктирной и сплошной линий расположены решения исходной GCFEP, потому что значение определителя в этих точках равно нулю.

На рисунке 3 различимы 10 точек пересечения, каждая из них может быть использована в качестве начального приближения при поиске соответствующего точного решения. Произвольно выберем две точки и найдем соответствующие этим точкам точные решения. В качестве первой точки выберем (8.12, 0.02089), в качестве второй – (9.34, 0.302). Выбранные точки отметим на рисунке 3 черными квадратами.

Согласно первому утверждению теоремы, решения системы Мюллера должны включать в себя решения исходной GCFEP. Чтобы проверить это, найдем решения системы Мюллера. Для начала построим рисунок 4, подобный рисунку 3.

На этом рисунке в точках, где пересекаются пунктирная и сплошная линии, находятся решения системы Мюллера, причем в тех же местах, что и решения исходной GCFEP. Каждое решение исходной GCFEP назовем истинным. Теперь отметим решения, которые не входят в число решений исходной GCFEP (назовем их фиктивными). Фиктивные решения находятся в окрестностях точек (1.16, 4.677), (1.84, 2.455), (2.62, 1.096). Это говорит о том, что исходная GCFEP и система Мюллера не эквивалентны. Среди решений системы Мюллера есть такие, которые не являются решениями исходной GCFEP.

Найдем точные решения исходной GCFEP и решения системы Мюллера. В качестве начальных приближений используем ранее выбранные точки. Результаты приведены в таблице 1.

Как видим, решения исходной GCFEP и решения системы Мюллера совпадают, по крайней мере, до 4-го знака после запятой. Таким образом, два произвольно выбранных решения GCFEP являются решениями системы Мюллера.

Проведем аналогичные исследования для случая H-поляризации. В качестве начальных приближений выберем две точки. Пусть первая точка – (5.87, 0.007762), вторая – (7.16, 0.04786). Использовав начальные приближения, найдем точные решения. Результаты приведены в таблице 1. Они показывают, что решения исходной GCFEP и системы Мюллера совпадают, по крайней мере, до 3-го знака после запятой. Как и для случая E-поляризации, получаем, что два произвольно выбранных решения GCFEP являются решениями системы Мюллера.

Проиллюстрируем второе утверждение теоремы. Для этого найдем решение вывернутой наизнанку GCFEP (6)–(9). На рисунке 5 в точках, где пересекаются пунктирная и сплошная линии, находятся решения GCFEP, вывернутой наизнанку. Видны только три точки пересечения: (1.16, 4.677), (1.84, 2.455), (2.62, 1.096).   В этих же местах находятся решения системы Мюллера как для H-, так и для E-поляризации. Таким образом, каждое решение GCFEP, вывернутой наизнанку, является решением системы Мюллера. Чтобы убедиться в этом, найдем точные решения обеих задач. В каче-  стве начальных приближений используем ко-  ординаты точек пересечения пунктирной и сплошной линий, изображенных на рисунке 5.

Сравним точные решения GCFEP, вывернутой наизнанку, с точными решениями системы Мюллера. Результаты такого сравнения приведены в таблице 2.

Таблица 2 показывает, что решения GCFEP, вывернутой наизнанку, и решения системы Мюллера совпадают, по крайней мере, до 3-го знака после запятой. Каждое решение GCFEP, вывернутой наизнанку, является решением системы Мюллера. Таким образом, решения системы Мюллера состоят из решений исходной GCFEP и GCFEP, вывернутой наизнанку.

На рисунке 5 в области при k > 4, где GCFEP, вывернутая наизнанку, имеет только тривиальное решение, каждое решение системы Мюллера является решением исходной GCFEP. Таким образом, можно сказать, что результаты вычислительных экспериментов соответствуют утверждениям теоремы эквива-  лентности, а множества истинных и фиктивных собственных значений явно разделяются.

Описание комплекса   компьютерных программ

Программный комплекс разработан в системе MATLAB и предназначен для вычисления собственных значений и собственных функций задачи о собственных модах двумерного диэлектрического микрорезонатора с особыми областями, коэффициента направленности излучения D, угла b направления наиболее интенсивного пучка излучения. Программный комплекс состоит из функций:

0. main_MSV_generate_initial

1. main_calc

a) main_cos_calc

b) main_sin_calc

   1) InitEnvironmentParameters

   2) InitGeometryParameters

   3) InitInputData

   4) InitModeParameters

   5) solveGalerkinMethod

solveNeumaierMethod

   6) calcAdditionalData_180

Рассмотрим применение комплекса к задаче о собственных модах круглого диэлектрического микрорезонатора с круглым отверстием. Алгоритм вычисления собственных значений и собственных функций задачи выглядит следующим образом. Функция main_H_MSV_  generate_initial вызывается до начала вычислений и предназначена для подготовки начальных приближений к собственным значениям. Начальные приближения вычисляются методом разделения переменных для круглого активного микрорезонатора без отверстия. Далее в зависимости от типа искомых мод вызывается одна из функций: main_H_cos_calc, main_H_sin_calc.

Функции main_H_cos_calc, main_H_sin_calc предназначены для вычисления собственных значений и собственных функций, коэффициента направленности излучения и угла наиболее интенсивного пучка излучения.

Входные параметры функций main_H_cos_  calc и main_H_sin_calc:

 

inputData.typeEnvironment – название задачи;

inputData.resultDir – путь к папке сохранения результатов вычислений;

inputData.typePolarization – тип поляризации;

inputData.typeMode – тип искомых мод;

inputData.maxIter – ограничение на число итераций в методе Ньюмаера [14];

mList – номера мод, решения которых подлежат определению;

nList – номера искомых решений;

dList – набор расстояний между центром резонатора и центром отверстия.

Выходные параметры:

 

resultData – структура, содержащая собственные значения (k, g), собственный вектор w, коэффициент направленности D, угол b, соответствующие входным параметрам input­Data.

Следующий фрагмент функции main_H_  cos_calc представляет этап инициализации входных параметров задачи:

 

inputData.typeEnvironment = 'eccentricRing';

inputData.resultDir = strcat(strcat(cd, '/../../'), '/results/eccentricRing/');

inputData.typePolarization = 'H';

inputData.typeMode = 'cos';

inputData.maxIter = 100;

mList = [11]; nList = [1:3]; dList = [0:0.005:0.8];

Функция InitEnvironmentParameters инициализирует физические параметры микрорезонатора и параметры окружающей его среды. Значения параметров сохраняются в структуру inputData.

Входные параметры функции InitEnviron­mentParameters:

inputData.typeEnvironment – название задачи.

Выходные параметры:

 

inputData.numContours – количество контуров микрорезонатора;

inputData.contours{m}.env.internal.  alpha – показатель преломления во внутренней области микрорезонатора;

inputData.contours{m}.env.internal.  type – тип среды во внутренней области микрорезонатора;

inputData.contours{m}.env.external.  alpha – показатель преломления во внешней области микрорезонатора;

inputData.contours{m}.env.external.  type – тип среды во внешней области микрорезонатора.

Следующий фрагмент InitEnvironmentPara­meters соответствует этапу инициализации па-  раметров микрорезонатора с отверстием:

case 'eccentricRing'

inputData.numContours = 2;

inputData.contours{1}.env.internal.  alpha = 1;

inputData.contours{1}.env.internal.  type = 'passive';

inputData.contours{1}.env.external.  alpha = 2.63;

inputData.contours{1}.env.external.  type = 'active';

inputData.contours{2}.env.internal.  alpha = 2.63;

inputData.contours{2}.env.internal.  type = 'active';

inputData.contours{2}.env.external.  alpha = 1;

inputData.contours{2}.env.external.  type = 'passive';

end

Функция InitGeometryParameters инициализирует геометрические параметры микрорезонатора – радиус микрорезонатора a, радиус   отверстия r, угол относительно центра резонатора, под которым расположен центр отверстия, расстояние d между центром резонатора и центром отверстия.

Входные параметры функции InitGeometry­Parameters:

inputData.typeEnvironment – название задачи.

Выходные параметры:

inputData.contours{m}.geom.r – радиус отверстия;

inputData.contours{m}.geom.theta – угол между центром резонатора и центром отверстия;

inputData.contours{m}.geom.d – расстояние между центром резонатора и центром отверстия.

Следующий фрагмент InitGeometryPara­meters соответствует этапу инициализации геометрических параметров микрорезонатора с отверстием:

case 'eccentricRing'

inputData.contours{1}.geom.r = 0.03;

inputData.contours{1}.geom.theta = pi;

inputData.contours{1}.geom.d = 0;

inputData.contours{2}.geom.r = 1;

inputData.contours{2}.geom.theta = 0;

inputData.contours{2}.geom.d = 0;

end

Когда в серии вложенных циклов зафиксированы номер моды m, номер решения n и степень тригонометрического полинома N, вызы-  вается функция InitInputData. Она загружает в структуру inputData начальное приближение к собственным значениям (k, g). Начальным приближением для собственного вектора является нулевой вектор.

Входные параметры функции InitInputData:

inputData.m – номер моды;

inputData.n – номер решения;

inputData.typePolarization – тип поляризация;

inputData.typeMode – тип моды.

Выходные параметры:

inputData.k – начальное приближение к k;

inputData.gamma – начальное приближение к g.

Следующий фрагмент InitInputData соответствует H-поляризации и четному типу мод:

switch inputData.typePolarization

case 'H'

inputData.polDir = [inputData.resultDir 'H_pol/' ];

end

mDir = [inputData.polDir 'm_' num2str(inputData.m) '/'];

inputData.nDir = [mDir 'n_' num2str(inputData.n) '/'];

inputData.k = 0; inputData.gamma = 0;

if(strcmp( inputData.typeMode, 'cos'))

if exist([inputData.nDir '/Initial_data_cos.mat'],'file')== 2

   data = load([inputData.nDir '/Initial_data_cos.mat']);

   inputData.k = data.k; inputData.gamma = data.gamma;

end

end

Далее фиксируется значение параметра d из dList и вызывается функция InitModePara­meters, которая определяет правило вычисления матрицы задачи согласно типу искомых мод.

Входные параметры функции InitMode­Parameters:

inputData.typeMode – тип мод.

Выходные параметры:

inputData.functions.A – указатель на функцию вычисления матрицы задачи.

Следующий фрагмент InitModeParameters соответствует четному типу мод:

switch inputData.typeMode

case 'cos'

   inputData.functions.A = @matrixA_cos;

end

Когда определены все входные параметры, вызывается функция solveGalerkinMethod,   которая является программной реализацией метода Галеркина. Для решения нелинейной алгебраической задачи на собственные значе-  ния, полученной в результате применения ме-  тода Галеркина, вызывается функция solveNeu-  maierMethod. Эта функция является програм-  мной реализацией метода Ньюмаера (вариант метода обратных итераций с невязкой).

Входные параметры функции solveNeu­maierMethod:

 

func_A – указатель на функцию, вычисляющую матрицу ;

start_k – начальное приближение для k;

start_gamma – начальное приближение для g;

start_w – начальное приближение для собственного вектора w;

contours – массив структур, содержащий промежуточные вычисления для контуров резонатора;

additionalData – структура, содержащая дополнительные данные, необходимые во время вычислений.

Выходные параметры:

 

k – решение k;

gamma – решение g;

w – собственный вектор ;

count_iter – число итераций метода Ньюмаера

Результаты вычислений сохраняются в структуру resultData, которая также содержит входные параметры задачи.

Функция calcAdditionalData_180 предназначена для вычисления коэффициента направленности D и угла b.

Входные параметры calcAdditionalData_  180:

 

resultData – структура, содержащая входные параметры и решение задачи.

Выходные параметры:

 

resultData.D – значение коэффициента направленности излучения;

resultData.beta – значение угла направления наиболее интенсивного пучка излучения.

Заключение

Сформулирована и доказана теорема эквивалентности для исходной GCFEP и системы граничных интегральных уравнений Мюллера. Численно проиллюстрированы утверждения теоремы, а также то, что спектр нелинейной задачи на собственные значения системы граничных интегральных уравнений Мюллера, порождаемой GCFEP, содержит фиктивные собственные значения. Показано, что множества истинных и фиктивных собственных значений явно разделяются.

Проведены расчеты, выполнено сравнение найденных собственных значений исходной GCFEP, GCFEP, вывернутой наизнанку, и системы Мюллера. Определен диапазон фиктивных собственных значений и показано, что эти значения явно отделены от истинных собственных значений.

Для развития результатов следует выполнить поиск таких интегральных формулировок, которые, с одной стороны, будут основаны на операторах Фредгольма, с другой – вообще не будут иметь фиктивных собственных значений или же их фиктивные собственные значения будут еще лучше отделены от истинных.

 

Работа выполнена за счет средств Программы стратегического академического лидерства   Казанского (Приволжского) федерального университета («ПРИОРИТЕТ-2030»).

Литература

1.    Du W., Li C., Sun J., Xu H., Yu P., Ren A., Wu J., Wang Z. Nanolasers based on 2D materials. Laser & Photonics Reviews, 2020, vol. 14, no. 12, art. 2000271. DOI: 10.1002/lpor.202000271.

2.    Smotrova E.I., Nosich A.I. Mathematical study of the two-dimensional lasing problem for the whispering-gallery modes in a circular dielectric microcavity. Optical and Quantum Electronics, 2004, vol. 36,   no. 1-3, pp. 213–221. DOI: 10.1023/B:OQEL.0000015641.19947.9c.

3.    Spiridonov A.O., Oktyabrskaya A.O., Karchevskii E.M., Nosich A.I. Mathematical and numerical analysis of the generalized complex-frequency eigenvalue problem for two-dimensional optical microcavities. SIAM J. on Applied Mathematics, 2020, vol. 80, no. 4, pp. 1977–1998. DOI: 10.1137/19M1261882.

4.    Smotrova E.I., Tsvirkun V., Gozhyk I., Lafargue C., Ulysse C., Lebental M., Nosich A.I. Spectra, thresholds, and modal fields of a kite-shaped microcavity laser. JOSA B, 2013, vol. 30, no. 6, pp. 1732–1742. DOI: 10.1364/JOSAB.30.001732.

5.    Oktyabrskaya A.O., Spiridonov A.O., Karchevskii E.M. Muller boundary integral equations for solving generalized complex-frequency eigenvalue problem. Lobachevskii J. of Mathematics, 2020, vol. 41, no. 7,   pp. 1377–1384. DOI: 10.1134/S1995080220070343.

6.    Misawa R., Nino K., Nishimura N. Boundary integral equations for calculating complex eigenvalues of transmission problems. SIAM J. on Applied Mathematics, 2017, vol. 77, no. 2, pp. 770–788. DOI: 10.1137/  16M1087436.

7.    Muller C. Foundations of the Mathematical Theory of Electromagnetic Waves. Springer Publ., Berlin, 1969, 353 p. DOI: 10.1007/978-3-662-11773-6.

8.    Steinbach O., Unger G. Combined boundary integral equations for acoustic scattering resonance problems. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2015, vol. 40, no. 5, pp. 1516–1530. DOI: 10.1002/  mma.4075.

9.    Reichardt H. Ausstrahlungsbedingungen fur die wellengleihung. Proc. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universit at Hamburg, 1960, vol. 24, pp. 41–53. DOI: 10.1007/BF02942018.

10. Colton D., Kress R. Integral Equation Methods in Scattering Theory. SIAM Publ., Philadelphia, 2013, 271 p. DOI: 10.1137/1.9781611973167.

11. Spiridonov A.O., Karchevskii E.M., Nosich A.I. Mathematical and numerical modeling of on-threshold modes of 2-D microcavity lasers with piercing holes. Axioms, 2019, vol. 8, pp. 1–16. DOI: 10.3390/axioms  8030101.

12. Spiridonov A.O., Karchevskii E.M., Nosich A.I. Rigorous formulation of the lasing eigenvalue problem as a spectral problem for a Fredholm operator function. Lobachevskii J. of Mathematics, 2018, vol. 39,   no. 8, pp. 1148–1157. DOI: 10.1134/S1995080218080127.

13. Abramowitz M. Handbook of Mathematical Functions, 1964: With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. London, Forgotten Books Publ., 2018, 1080 p.

14. Neumaier A. Residual inverse iteration for the nonlinear eigenvalue problem. SIAM J. on Numerical Analysis, 1985, vol. 22, no. 5, pp. 914–923. DOI: 10.1137/0722055.

References

1. Du W., Li C., Sun J., Xu H., Yu P., Ren A., Wu J., Wang Z. Nanolasers based on 2D materials. Laser & Photonics Reviews, 2020, vol. 14, no. 12, art. 2000271. DOI: 10.1002/lpor.202000271.
2. Smotrova E.I., Nosich A.I. Mathematical study of the two-dimensional lasing problem for the whispering-gallery modes in a circular dielectric microcavity. Optical and Quantum Electronics, 2004, vol. 36, no. 1-3, pp. 213–221. DOI: 10.1023/B:OQEL.0000015641.19947.9c.
3. Spiridonov A.O., Oktyabrskaya A.O., Karchevskii E.M., Nosich A.I. Mathematical and numerical analysis of the generalized complex-frequency eigenvalue problem for two-dimensional optical microcavities. SIAM J. on Applied Mathematics, 2020, vol. 80, no. 4, pp. 1977–1998. DOI: 10.1137/19M1261882.
4. Smotrova E.I., Tsvirkun V., Gozhyk I., Lafargue C., Ulysse C., Lebental M., Nosich A.I. Spectra, thresholds, and modal fields of a kite-shaped microcavity laser. JOSA B, 2013, vol. 30, no. 6, pp. 1732–1742. DOI: 10.1364/JOSAB.30.001732.
5. Oktyabrskaya A.O., Spiridonov A.O., Karchevskii E.M. Muller boundary integral equations for solving generalized complex-frequency eigenvalue problem. Lobachevskii J. of Mathematics, 2020, vol. 41, no. 7,  pp. 1377–1384. DOI: 10.1134/S1995080220070343.
6. Misawa R., Nino K., Nishimura N. Boundary integral equations for calculating complex eigenvalues of transmission problems. SIAM J. on Applied Mathematics, 2017, vol. 77, no. 2, pp. 770–788. DOI: 10.1137/16M1087436.
7. Muller C. Foundations of the Mathematical Theory of Electromagnetic Waves. Springer Publ., Berlin, 1969, 353 p. DOI: 10.1007/978-3-662-11773-6.
8. Steinbach O., Unger G. Combined boundary integral equations for acoustic scattering resonance problems. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2015, vol. 40, no. 5, pp. 1516–1530. DOI: 10.1002/mma.4075.
9. Reichardt H. Ausstrahlungsbedingungen fur die wellengleihung. Proc. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universit at Hamburg, 1960, vol. 24, pp. 41–53. DOI: 10.1007/BF02942018.
10. Colton D., Kress R. Integral Equation Methods in Scattering Theory. SIAM Publ., Philadelphia, 2013, 271 p. DOI: 10.1137/1.9781611973167.
11. Spiridonov A.O., Karchevskii E.M., Nosich A.I. Mathematical and numerical modeling of on-threshold modes of 2-D microcavity lasers with piercing holes. Axioms, 2019, vol. 8, pp. 1–16. DOI: 10.3390/axioms8030101.
12. Spiridonov A.O., Karchevskii E.M., Nosich A.I. Rigorous formulation of the lasing eigenvalue problem as a spectral problem for a Fredholm operator function. Lobachevskii J. of Mathematics, 2018, vol. 39, no. 8, pp. 1148–1157. DOI: 10.1134/S1995080218080127.
13. Abramowitz M. Handbook of Mathematical Functions, 1964: With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. London, Forgotten Books Publ., 2018, 1080 p.
14. Neumaier A. Residual inverse iteration for the nonlinear eigenvalue problem. SIAM J. on Numerical Analysis, 1985, vol. 22, no. 5, pp. 914–923. DOI: 10.1137/0722055.