Software & Systems

При построении оптимальных систем управления приходится решать задачи двух видов: синтез оптимальных алгоритмов управления (оптимальных управляющих воздействий) и синтез законов управления [1].

В настоящее время разработано большое количество различных алгоритмов численного решения указанных задач, которые базируются на классическом математическом аппарате [2]. Применение нечеткой логики в данных алгоритмах позволяет, с одной стороны, использовать априорную информацию об искомом решении, что повышает его точность, и с другой – получать результаты в виде продукционных правил если–то, которые затем легко интерпретировать, что дает возможность использовать данные алгоритмы в человеко-машинных системах (например, системах поддержки принятия управленческих решений) [3].

Рассмотрим задачу синтеза системы нечеткого логического вывода, реализующую функцию

,                                                               (1)

которая обращает в минимум некоторый нелинейный функционал , заданный в общем случае неявно, то есть  – лишь абстрактное обозначение, выражающее принципиальную возможность определения I, зная . Используя метод штрафных функций, к данной задаче можно свести большинство задач с ограничениями [2].

Классическим алгоритмом решения задачи является применение нечетких нейронных сетей, например, сетей Ванга-Менделя [3]. При этом стандартные алгоритмы обучения, основанные на обратном распространении ошибки, в данном случае неприменимы, так как в общем случае неизвестен гессиан связи функционала  и весов нечеткой сети [4]. Кроме того, существенным недостатком традиционных нечетких сетей является необходимость априорного выбора числа продукционных правил [3].

В данной ситуации можно применять алгоритмы наращивания (АН) сети, в которых чередуются циклы обучения сети и добавления новых правил. Однако, как известно, АН сети работают крайне медленно [5].

Рассмотрим алгоритм адаптации нечеткой нейронной сети, как представляется, свободный от указанных недостатков.

Допустим, что о зависимости (1) имеется априорная информация, записанная в виде совокупности m0 нечетких продукционных правил вида:

Пr: если х1 есть Аr1 и х2 есть Аr2 и … и хn есть Аrn, то у = уr, где r =1, 2, … m0 – номер правила в базе знаний, xj (j=1, 2, …, n) – компоненты вектора , Arj – некоторые нечеткие числа, имеющие функции принадлежности .

Отметим, что данная априорная информация может и отсутствовать (при этом m0 = 0).

Предположим далее, что может быть реализован эксперимент, заключающийся в определении значения функционала  при текущем виде зависимости .

Алгоритм состоит в реализации последовательности следующих шагов.

Шаг 0 (предварительный). Задается e – погрешность нахождения минимума функционала. Задается априорная база нечетких правил. Устанавливается текущее число правил в базе знаний m=m0.

Шаг 1. Если формируемая база знаний пуста, переход к шагу 2, иначе с помощью алгоритма нечеткого вывода Сугэно 0-го порядка с использованием имеющихся продукционных правил определяется оценка [3, 5]:

,                                       (2)

где  – степень истинности предпосылок r-го правила.

По оценке  определяется значение функционала .

Шаг 2. База знаний пополняется правилом вида:

Пm+1: если х1 есть А(m+1)1 и х2 есть А(m+1)2 и … хn есть А(m+1)n, то , где  – нечеткие числа с треугольными функциями принадлежности [3, 5]:

 (3)

где  – центры нечетких чисел .

По формуле, аналогичной (2), определяется оценка  . Настраиваются параметры , … , , , …  путем оптимизации функции Im+1=     по данным параметрам [3].

Шаг 3. Проверяется неравенство:

,                                                      (4)

где , .

Значение m модифицируется: m:=m+1.

При невыполнении неравенства (4) переход к шагу 2, иначе переход к шагу 4.

Шаг 4. База знаний считается сформированной. В качестве окончательной берется база знаний, состоящая из  продукционных правил. В качестве оптимального значения функционала выбирается .

Рассмотренный алгоритм будем называть далее нечетким дополняюще-оптимизирующим алгоритмом (ДОА).

Оценим эффективность ДОА по сравнению с АН нечеткой нейронной сети.

Под эффективностью алгоритма будем понимать следующее: пусть выделено N вычислений функционала , более эффективен тот алгоритм, который за данные N вычислений даст меньшее значение .

Допустим, что объем вычислений при настройке нечеткой нейронной сети приблизительно прямо пропорционален числу настраиваемых параметров [3].

Напомним, что в АН происходит оптимизация параметров всех правил, затем добавление нового правила и снова оптимизация параметров всех правил [5]. Число вычислений функционала в АН приблизительно определяется формулой:

,                                                    (5)

где – const; – число настраиваемых параметров в одном продукционном правиле; – число продукционных правил.

Формулу (5) можно привести к виду:

.                                               (6)

Для ДОА при каждом добавлении нового продукционного правила оптимизируется только  параметров.

Число вычислений для ДОА определяется формулой:

.                                                     (7)

На рисунке 1 построены графики зависимости, определенные по формулам (6) и (7) соответственно, для случая, когда  и .

Из рисунка видно, что ДОА требует значительно меньше вычислений по сравнению с АН.

На практике приведенные оценки являются лишь приближенными. Во-первых, база знаний сгенерированная с помощью ДОА, получается обычно больше, чем при использовании АН, что несколько снижает эффективность ДОА. Во-вторых, с ростом числа переменных число вычислений растет обычно быстрее, чем линейная зависимость, что, наоборот, говорит в пользу эффективности ДОА.

Рассмотрим иллюстрирующий пример.

Пусть имеется система, приведенная на рисунке 2.

Примем следующие обозначения: M – амплитудно-импульсный модулятор с фиксатором нулевого порядка и периодом квантования Т0=0,2; НЭ – нелинейный элемент – статическая нелинейность, определяемая формулой:

.

На вход системы подается сигнал:

Задача состоит в нахождении нелинейной функции , минимизирующей функционал:

.

Для решения задачи использовались разработанный ДОА с  и алгоритм наращивания нечеткой сети. В качестве алгоритма параметрической оптимизации применялся алгоритм Нелдера-Меада из пакета MATLAB 6.5 (R13) [6]. Для уменьшения вероятности сходимости процесса к локальному экстремуму алгоритм запускался 10 раз из случайно задаваемых начальных точек с последующим выбором наилучшего решения.

На рисунке 3 показаны входной сигнал  и сигнал на выходе НЭ  (см. рис. 2) после окончания работы ДОА.

В результате работы алгоритмов были сгенерированы продукционные правила вида:

Пr: если  есть , то ,

где r – номер правила, – нечеткие числа с функциями принадлежности вида:

С помощью ДОА и АН до выполнения условия останова было сгенерировано 5 и 4 нечетких продукционных правила соответственно. Ниже приведены параметры, нечетких продукционных правил, сгенерированных с помощью ДОА:

и АН:

Результаты моделирования сведены в таблице.

Из таблицы видно, что при увеличении количества правил объем вычислений в алгоритме наращивания лавинообразно возрастает, что приводит к невозможности найти точку глобального минимума за выделенное число итераций и к обрыву процесса (выполнению критерия останова). В ДОА объем вычислений растет приблизительно линейно с ростом количества сгенерированных правил.

На рисунке 4 показаны зависимости значений функционала (IАН – для АН и IДОА – для ДОА) от числа его определений в процессе работы алгоритмов.

Видно, что при равном N значения функционала при применении ДОА всегда меньше, чем при применении АН, что показывает преимущество разработанного алгоритма.

Список литературы

1.        Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. - СПб.: Наука, 2000.

2.        Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. - М.: Наука, 1978.

3.        Осовский С. Нейронные сети для обработки информации. - М.: Финансы и статистика, 2002.

4.        Омату С., Халид М., Юсоф Р. Нейроуправление и его приложения. Кн.2 / Общ. ред. А.И. Галушкина. - М.: ИРПЖР, 2000.

5.        Круглов В.В., Борисов В.В. Искусственные нейронные сети. Теория и практика. - М.: Горячая линия – ТЕЛЕКОМ, 2001.

6.        Дьяконов В.П., Круглов В.В. Математические пакеты расширения MATLAB: Специальный справочник. - СПб.: Питер, 2001.