Software & Systems

Как было показано в [1,2], локально-аппроксимационная (программная) модель представляет собой инструмент для прогнозирования выхода объекта произвольной сложности. Ее основой является база данных, записи которой хранят информацию о конкретных наборах входных и выходных переменных, полученную на этапе обучения модели. Прогноз выхода осуществляется с применением локальной аппроксимации (интерполяции): по предъявляемому набору входных переменных в базе данных отыскивается ряд ближайших подобных наборов, по которым простейшей аппроксимационной (интерполяционной) формулой (линейной или квадратичной) и рассчитывается прогнозируемое значение.

Основные идеи и предпосылки алгоритма рассмотрим для простоты на примере стационарного непрерывного одномерного динамического объекта, имеющего скалярные вход u(t) и выход y(t) (рис.1), хотя предлагаемый подход и допускает расширение на нестационарные и многомерные динамические объекты.

Предположим, что регистрация входного и выходного сигналов как на этапе изучения, так и в режиме нормального функционирования объекта происходит в дискретные эквидестантные моменты времени ti, интервал между которыми Dt значительно меньше постоянных времени объекта, так что в распоряжении пользователя находятся значения = .

Решение задачи построения обобщенной программной модели динамического объекта, позволяющего прогнозировать его выход только по значениям входного сигнала, может быть получено, например, в следующей постановке.

Пусть в структуре на рисунке 1 динамический объект может быть представлен состоящим из последовательно соединенных линейного динамического звена (ЛДЗ) и статического нелинейного элемента (НЭ), как это представлено на рисунке 2.

Пусть линейное динамическое звено характеризуется импульсной переходной характеристикой w(t), а нелинейный элемент – функцией h(z). Предполагается, естественно, что w(t) и h(z) неизвестны.

Воспользуемся аппроксимационным представлением w(t):

                                             (1)

где n – заданное число; {wj(t)} – известные базисные функции; aj – коэффициенты разложения.

Полагая начальные условия в ЛДЗ нулевыми, на основании (1) для сигнала z(t) можно запи- сать [3]:

                                                                  (2)

где                                    (3)

В предположении, что функция h(t) является гладкой (дифференцируемой), в любой локальной области ее можно представить как

,            (4)

где z* – некоторая базовая точка.

Введем здесь следующие обозначения:

Тогда (4) можно переписать в виде

                                                      (5)

или с учетом (2) в виде

                   (6)

где

Из (6) следует, что прогнозируемое значение выхода объекта можно представить соотношением

                                                            (7)

где в данном случае .

По сравнению с (6) в последней формуле отсутствует свободный член (слагаемое с0). Это обстоятельство при последующем определении вектора c приведет к смещенности его оценки, но в данном случае, поскольку речь идет о прогнозе, а не об определении истинной модели, такая смещенность не имеет значения.

Заметим, что эти выражения не очень удобны для численных расчетов (так, при их использовании необходимо хранить все значения входного сигнала и т.п.), но с вычислительной точки зрения ситуацию можно упростить, если использовать в качестве базисных wj(t) функции Лагерра [3,4] вида

j=1,2,...,n,   (8)

где a – параметр функций, и применить результаты следующей теоремы.

Теорема1. Если выбранный базис

таков, что в области допустимых значений аргумента  возможно представление

                                    (9)

где  – некоторая матрица, обладающая свойствами переходной матрицы [5]

                      (10)

(I обозначает единичную матрицу), то для вектора  с компонентами xj(t), задаваемыми (3), справедливо дифференциальное уравнение

                                (11)

причем матрица A(t) и вектор b(t) определяются выражениями

                                                        (12)

                                 (13)

Доказательство. Решение уравнения (11) при нулевых начальных условиях имеет вид [5]

                                      (14)

где  – переходная матрица системы (11).

В соответствии же с выражениями (3) и с условием (9) имеем

                                        (15)

.                           (16)

При выполнении равенства (12) формулы (14) и (16) становятся подобными, а учитывая, что  по условию обладает всеми свойствами переходной матрицы, по теореме о единственности решения дифференциального уравнения будем иметь то есть матрица  будет являться переходной матрицей системы (11), что, в частности, удовлетворяет соотношению [5]

                                          (17)

откуда получаем формулу (13).

Теорема доказана.

Следует отметить, что для стационарных объектов весовая функция (импульсная переходная характеристика) зависит только от разности аргументов t-t. Рассматривая эту разность как новый аргумент и учитывая, что для стационарных объектов, описываемых выражением (11), матрица A не зависит от времени, можно показать, что функции, входящие в выражения (9), (12), (13), будут являться только функциями этого нового аргумента и примут вид (при обозначении этого аргумента для простоты тоже через t):

.                              (18)

Отметим также, что условия теоремы всегда выполняются, если набор базисных функций представляет собой полный набор решений линейного дифференциального уравнения.

Условиям приведенной теоремы удовлетворяет, в частности, набор функций Лагерра (8), для которого:

               (19)

                                            (20)

При переходе к дискретному времени ti=i×Dt расчет значений xi в данном случае удобно осуществлять по рекуррентной процедуре [5]

(21)

С учетом изложенного процедуру построения обобщенной локально-аппроксимационной модели можно описать следующим образом.

1. Производится начальный эксперимент, в ходе которого фиксируются N пар значений (ui ,yi).

По формулам (19)-(21) рассчитываются значения xi, формируется начальная база модели в виде матрицы U со строками <>.

2. Для каждой вновь вводимой экспериментальной точки (uk ,yk) рассчитывается xk и формируется вектор расстояний, например евклидовых или Хэмминга

3. Из матрицы U отбирается М строк, наиболее близких в смысле выбранного расстояния к строке <>. Формируется матрица F и вектор y вида:

,   .

4. По соотношению

                                   (22)

рассчитывается прогнозируемое значение выхода объекта.

5. Проверяется неравенство

при выполнении которого матрица U пополняется строкой <>, в противном случае матрица U не изменяется.

6. Проверяется принятое правило останова. При его невыполнении – переход к п. 2 процедуры. При выполнении – переход к следующему пункту.

7. Конец процедуры.

Задаваемая исходная информация: параметры М, d, n, a (параметр функций Лагерра).

Использование модели (при сформированной базе модели U) сводится к реализации п.п.2-4.

Пример. Объект имитировался уравнениями

                         (23)

при шаге дискретизации Dt=0.1 с.

При построении в соответствии с приведенной процедурой (при значениях параметров M=12, d=0.1, n=4, a=0.6 c–1 и идентифицирующим сигналом типа дискретного белого шума uiÎ(0,2)) локально-аппроксимационной модели была сформирована матрица U, содержащая 5 столбцов (соответствующих x1¸x4 и y) и 18 строк.

Диагностическая проверка модели при использовании u(t)=1[t] дала результат, приведенный на рисунке 3 (пунктиром обозначена кривая ).

По-видимому, этот результат можно считать удовлетворительным.

Список литературы

1.   Дли М.И., Круглов В.В. Построение и применение информационных моделей сложных объектов, основанных на методе локальной аппроксимации// Цифровая обработка информации и управление в чрезвычайных ситуациях// Матер. I Междунар. конф. - Т.1. - Минск: Ин-т техн. кибернетики НАН Беларуси. - 1998. - С.62-65.

2.   Дли М.И., Круглов В.В. Применение метода локальной аппроксимации при построении алгоритмических моде- лей объектов управления// Вестник МЭИ. - 1998. - №6. - С.109-111.

3.   Эйкофф П. Основы идентификации систем управления. - М.: Мир, 1975.

4.   Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов /К.Хартман, Э.Лецкий, В.Шефер и др. - М.: Мир, 1977.

5.   Директор С., Рорер Р. Введение в теорию систем. - М.: Мир, 1974.