Software & Systems

Разработанный вычислительно-моделирующий комплекс (ВМК) тренажера для подготовки экипажей кораблей и подводных лодок (ПЛ) к эксплуатации технических средств и борьбе за живучесть состоит из множества моделей, описывающих процессы, происходящие в подсистемах ПЛ.

Предлагаем методику моделирования общекорабельных систем (ОКС). Основой методики моделирования является использование уравнений материального и теплового баланса.

С точки зрения универсальной модели все моделируемые объекты разделены на два класса:

-     емкости – объекты, предназначенные для хранения запасов вещества и тепла (цистерны, расходные емкости, расширительные баки, пневмогидроаккумуляторы, баллоны, трубы);

-     соединительные элементы – объекты, предназначенные для передачи вещества и тепла между емкостями (клапаны, насосы, компрессоры, редукторы, вентиляторы и т.п.).

Объект-емкость может быть присоединен к любому числу объектов-соединителей. Объект-соединитель присоединяется к двум объектам-емкостям.

Введем следующие обозначения (на рисунке изображена связь емкости номер i с емкостью номер j соединительным клапаном для лучшего понимания обозначений):  – свободный объем в емкости номер i;  – масса жидкости в емкости номер i;  – масса газа в емкости номер i;  – высота центра емкости номер i;  – множество переменных состояния емкости номер i;  – параметр емкости номер i, характеризующий максимальную массу жидкости, которая может вместиться в эту емкость (где  – плотность жидкости);  – высота емкости номер i;  – высота уровня жидкости в емкости номер i;  – признак открытости клапана, соединяющего емкость номер i и емкость номер j (– клапан открыт,  – клапан закрыт);  – превышение уровня жидкости в емкости номер i над точкой расположения клапана, соединяющего емкость номер i и емкость номер j;  – площадь сечения клапана, соединяющего емкость номер i с емкостью номер j;  – расстояние от соединительного клапана между емкостями номер i и номер j до уровня жидкости в емкости номер i;  – давление в емкости номер i, которое получается из уравнения состояния для идеального газа [1] (где  – константа);  – давление в емкости номер i на уровне соединения клапана с емкостью номер j,

где  – гидростатическое давление столба жидкости; g – ускорение свободного падения.

Пусть имеется система, состоящая из N емкостей, соединенных между собой соединительными клапанами определенным образом. Эта система описывается математически следующей системой нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка:

,                          (1)

где ; – множество номеров емкостей, связанных с емкостью номер i; функция  определяет высоту центра емкости номер i в момент t;  – высота центра клапана между емкостью номер i и емкостью номер j в момент t;  – состояние клапана (открыт/закрыт) между емкостью номер i и емкостью номер j в момент t.

Функция  определяет расход жидкости под действием разности давлений  и  и является следствием из уравнения Бернулли [2] для установившегося потока жидкости. Функция  определяет расход газа под действием разности давлений. В функциях  и  учитывается состояние клапана  (при закрытом клапане расходы равны нулю).

Система дифференциальных уравнений (1) должна решаться явным численным методом Эйлера с постоянным шагом интегрирования [3]. Проблема состоит в том, что при некоторых значениях входящих в нее коэффициентов, а также переменных  система становится избыточно жесткой. Здесь под жесткостью понимается величина, определяемая выражением , где  ; ; l1, l2,…,l2N – собственные значения матрицы линеаризованной системы дифференциальных уравнений (1).

Связь емкости номер i и емкости номер j клапаном

Избыточная жесткость возникает при появлении в системе емкостей, заполненных жидкостью почти на 100 %, а также при значительном (на несколько порядков) разбросе объемов моделируемых емкостей. Повышение жесткости системы приводит к резкому возрастанию отклонений результатов численного решения от истинного решения системы. Стандартным приемом является уменьшение шага интегрирования (в частности, использование методов численного решения систем дифференциальных уравнений с автоматическим выбором шага интегрирования [4]). Однако такой подход неприемлем в системах реального времени, так как ведет к резкому возрастанию количества машинных операций, необходимых для решения задачи.

Пусть система обыкновенных дифференциальных уравнений (1) решается численным методом с постоянным шагом h, в котором на каждом шаге номер k рассчитываются значения переменных .

Введем ограничение на изменение давления за один модельный шаг не более чем на 20 %. Это значение было получено путем вычисления. При меньших значениях заметно ухудшается динамика процессов в моделируемых системах. При больших значениях этого параметра теряется его актуальность. Ограничение примет вид:

,                                            (2)

где ; .

Очевидно, что давление в емкости на шаге номер k не может быть больше или меньше некоторых максимальных и минимальных значений, определяемых давлением соседних емкостей и собственным давлением в емкости на шаге номер k-1. Отсюда вытекает следующее ограничение:

,                                            (3)

где  .

Объединив ограничения (2) и (3), получим ограничение на изменение давления за один шаг интегрирования в емкости номер i.

,                                            (4)

где ;  .

Обычно в моделируемых системах трубы предназначены для переноса вещества между различными емкостями и, следовательно, имеют объем меньше (на один или несколько порядков), чем у емкостей. В результате ограничение (4) для труб будет нарушаться чаще, то есть это условие непригодно для труб системы. Чтобы решить эту проблему, нужно на каждом модельном шаге приравнивать давление в трубе к некому усредненному значению, которое рассчитывается с учетом давлений в соседних емкостях/трубах:

,           (5)

где .

Когда истинно условие , приравнивание к усредненному давлению  может привести к кардинальному изменению поведения. Поэтому давление приравнивается к значению на предыдущем шаге.

Таким образом, корректировка изменения массы газа и жидкости в емкости должна удовлетворять ограничению (4), а аналогичная корректировка для труб выполняться приравниванием давления к вычисленному по формуле (5). То есть, если для емкостей изменение давления не должно выходить за некоторое максимальное и минимальное значения, изменение давления в трубах нужно приравнивать к усредненному давлению относительно соседних емкостей/труб.

Процесс корректировки переменных xi,yi, получаемых при решении системы (1) численным методом на шаге интегрирования k, должен быть итерационным, так как корректировка состояния емкости/трубы номер i влечет за собой корректировки в соседних емкостях/трубах с номерами jÎJj, которые могут привести к корректировкам в своих соседних емкостях/трубах с номерами rÎJj, и т.д.

В результате использования предлагаемых алгоритмов корректировки изменения массы газа и жидкости в емкостях и трубах модели ОКС, которая входит в состав ВМК тренажера ПЛ, повышена адекватность этой модели. В качестве показателя эффективности использовалось время перехода системы в установившееся состояние.

Список литературы

1.   Кириллин В.А., Сычев В.В., Шейндлин А.Е. Техническая термодинамика. – М.: Энергия, 1974.

2.   Кафаров В.В., Глебов М.Б. Математическое моделирование основных процессов химических производств. – М.: Высш. шк., 1991.

3.   Косарев В.И. 12 лекций по вычислительной математике (Вводный курс). Учеб. пособ. для вузов. – М.: Изд-во МФТИ, 2000. – 224 с.

4.   Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. – М.: Мир, 1980. – 279 с.

5.   Шукшунов В.Е., Циблиев В.В., Потоцкий С.И. и др. Тренажерные комплексы и тренажеры. Технологии разработки и опыт эксплуатации. – М.: Машиностроение, 2005. – 384 с.