Software & Systems

При исследовании статистических моделей большой интерес представляет учет нелинейных связей исходных признаков для решения задач прогнозирования. Модуль прогнозирования широко применяется в информационно-управля­ющих системах, в том числе в системах управления учебным процессом вузов и в автоматизированных системах управления инженерным оборудованием современного здания в качестве подсистем прогнозирования аварийных ситуаций. Общее решение задачи представляется как построение многомерной функции от вектора признаков . Поскольку размерность задач велика (число признаков n может достигать десятка и более), решение общей задачи аппроксимации n-мерной функции часто представляется трудоемким или даже невозможным. Для упрощения решения таких задач используют факторный анализ [1]. Искусственные статистические показатели (факторы) являются промежуточными величинами, позволяющими уменьшить размерность исходной задачи. Одним из подходов к выбору факторов может быть составление модели на основе методов распознавания образов с тригонометрической разделяющей функцией (тригонометрических рядов). Тригонометрические ряды хорошо описывают многие явления, при этом коэффициенты тригонометрического ряда часто имеют хорошие корреляционные связи с группами признаков, описывающих решаемую задачу. Применение частичной суммы тригонометрического ряда для факторного анализа имеет следующие преимущества:

-    коэффициенты тригонометрического ряда являются коэффициентами ортогональной системы, поэтому легко построить алгоритмы разбиения исходного множества признаков на подмножества с целью уменьшения размерности решаемой задачи;

-    тригонометрический ряд устойчив относительно возмущения коэффициентов, например, в результате их неточного, приближенного вычисления; при этом ошибка возмущения (неточный коэффициент) в достаточно широком диапазоне может слабо влиять на ошибку общего измерения, определяемую всеми коэффициентами тригонометрического ряда;

-    коэффициенты тригонометрического ряда являются убывающими, и по мере увеличения n их можно связывать с признаками, имеющими меньший вес в исследуемой задаче.

Таким образом, с помощью частичной суммы тригонометрического ряда можно реализовать алгоритм факторного анализа, в основе которого лежит алгебраический подход к решению задач распознавания образов (функций). В алгебраическом подходе новые алгоритмы распознавания строятся в виде полиномов над исходными алгоритмами (применение алгебраических корректоров) или в виде специальных булевских функций (логических корректоров). Теоретическим базисом является теорема о существовании для произвольного алгоритма распознавания эквивалентного ему стандартного алгоритма, представимого в виде произведения  распознающего оператора и решающего правила. Это позволяет описать основные результаты вычислений произвольных алгоритмов распознавания в стандартном виде с помощью числовых матриц оценок (мер принадлежности объектов к классам) и информационных матриц окончательных ответов (классификаций). Матрицы оценок различных распознающих алгоритмов являются исходным материалом для синтеза в виде полиномов новых матриц оценок, которые задают основу нового скорректированного решения задачи распознавания. Алгебраический подход позволяет строить алгоритмы, безошибочные на обучающем материале или совершающие меньшее число ошибок, чем каждый из исходных алгоритмов.

В настоящее время существует множество разнообразных подходов и конкретных эвристических алгоритмов для решения задач кластерного анализа (таксономии, или классификации без учителя), когда требуется найти естественные группировки похожих объектов (кластеры) по заданной выборке их векторных признаковых описаний. Решения, найденные различными алгоритмами, могут существенно отличаться друг от друга и даже фактически не соответствовать заложенной в данных действительности. Поиск наилучшего решения затруднен отсутствием общепризнанных универсальных критериев качества решений.

Эвристическими методами решается большой класс задач приближения функций многих переменных. Для таких задач характерно плохо обусловленное множество координат – признаков многомерной функции. Если значения функции определяют некоторые классы wk, k=1,2,…, m, то говорят о задаче классификации, или распознавания образов. Для задач распознавания образов характерно большое признаковое пространство вектора , l=1, 2,..,р, и малое количество строк матрицы , для которой известна принадлежность классам wk номеров l. Здесь А – обучающая матрица.

Общие методы приближения многомерных функций могут использоваться в методах распознавания образов, однако часто возникает задача распознавания в реальном масштабе времени, оперативное решение которой возможно только с применением упрощенных методов. Многие исследователи отмечали хорошую аппроксимацию многомерных функций ортогональным полиномом, особенно тригонометрическим, когда признаки xlk определяют коэффициенты полинома. Кроме того, тригонометрические частичные суммы – это преобразование Фурье, что и явилось основанием для разработки тригонометрических разделяющих функций.

Рассмотрим в n-мерном пространстве (n³1) следующую задачу: заданы значения функции F(x) в точках ; требуется построить полином наилучшего приближения [2]:

Tpn(xi1, xi2 ,…,xin), i=1,2,…, p,                      (1)

для которого

.                            (2)

Проблема приближения функций многих переменных представляет интерес для большого количества задач. Ранее отмечено, что распознавание образов можно также рассматривать как задачу приближения функций многих переменных.

Для тригонометрического полинома (1) имеет место выражение

,  (3)

где v1,…,vn – натуральные числа; x1,x2,…,xn – комплексные переменные; Ck1,…,kn – постоянные коэффициенты. Однако реализация вычислительного процесса на основании (3) затруднительна.

Рассмотрим построение решения (1) в виде

, tÎ[a, b],

,                                      (4)

где  в точке t; {jij(t)} – ортогональная на [a, b] система функций, для которых имеют место v непересекающихся классов. Предполагается, что значения функции  распределены на [a, b].

Если =s, s=1,2,…, m, то разделяющей функцией для (4) будет

, sÎ[a,b].                 (5)

Следовательно, задача приближения функций многих переменных и распознавания образов в случае (4) сводится к определению полиномов:

.                                                          (6)

Точное решение в этом случае усложняется, так как необходимо построить vL n-мерных функций. В то же время известно, что для коэффициентов Фурье существует такое d>0, что из  следует , где  – точные коэффициенты полинома (6);  – приближенные коэффициенты; r – обобщенная метрика, причем e(d)®0 при d®0, что говорит об устойчивости рядов Фурье. Значит, существует некоторая d-окрестность, в которой изменения коэффициентов Фурье не приводят к существенному изменению самого ряда.

Устойчивость коэффициентов Фурье допускает некоторый произвол в их измерении, что особенно важно для практических задач, так как вектор может быть измерен только приближенно. Для определения интерполируемых значений коэффициентов Фурье (6) введем следующее определение.

Определение. Функция  называется стробирующей [2]; если , то . Нетрудно усмотреть, что стробирующая функция удовлетворяет (4), следовательно,

,                                    (7)

отсюда в силу ортогональности

.                                            (8)

Выражение (8) определяет интерполируемые значения коэффициентов Фурье, при этом полагается, что стробирующая функция y(t) известна.

Отыщем приближенное решение (2).

1.  Предположим, что Cij=Cij(xk), i=1,2,…,v, j,k=1,2,…,n, xkÎWx. В этом случае можно выделить два алгоритма.

а) Признак с номером k относится к одному из коэффициентов Cij каждого класса. Тогда, очевидно, L=n и алгоритм упорядочения признаков xlk сводится к отысканию того признака, для которого

,                            (9)

i=1,2,…,v, j,k=1,2,…,n, xlkÎWx.

Pij(xlk) – полином наилучшего приближения коэффициентов Фурье стробирующей функции y(t) с аргументами, расположенными в k-м столбце матрицы А.

В каждом классе (9) отыскание признака проводится для всех n-1 коэффициентов Фурье с отбрасыванием из рассмотрения тех столбцов, которые ранее были отнесены к какому-либо коэффициенту. Наконец, к коэффициенту с номером n относится свободный столбец.

б) Произвольный из n признаков относится к любому из n коэффициентов для каждого из v классов при выполнении (9). Может случиться так, что часть столбцов матрицы исключается из рассмотрения.

2.  Для Cij строятся полиномы наилучшего приближения, зависящие от двух и более признаков. Упорядочение признаков при этом аналогично (9).

3.  Положим

.                                                           (10)

В этом случае Cij определяется, как в (4). Коэффициенты Фурье в аналогичном преобразовании

                               (11)

определяются по алгоритмам 1а, 1б.

Для С* d-окрестность будет несколько больше, так как определяемые через них коэффициенты Cij допускают некоторую неточность в измерении.

Аналогичное (10) преобразование можно, в свою очередь, применить для . Обозначим оператор q-квадратного вложения (в смысле (10)) ортогонального полинома в аппроксимируемую функцию через Tq. Тогда для 1а, 1б можно записать

                                                        (12)

и для алгоритма 3

,                                                 (13)

где А – матрица размером p´n. Чем больше q, тем большая неточность допустима в измерении вектора , однако при этом алгоритм вычисления  резко усложняется.

Рассмотрим тригонометрическую систему функций {sin kx, cos kx}, ортогональную на [–p,p], в качестве нелинейной разделяющей функции. При этом коэффициенты Фурье рассматриваются как факторы решаемой задачи.

В этом случае

, tÎ[–p,p],

.                (14)

Пусть

y(t)=   (15)

Интерполируемые значения коэффициентов Фурье определяются в виде

,                (16)

.               (17)

Возьмем в качестве  линейную комбинацию признаков х1, х2,…, хn, то есть

.                                           (18)

Коэффициенты линейной формы представления коэффициентов тригонометрического ряда вычисляются с помощью метода наименьших квадратов. Коэффициенты qkij и qij можно опреде-

лить из среднеквадратичного приближения значений Cij(s,q) для соответствующих векторов хi обучающей матрицы А. Если соответствует ws и

,                              (19)

классификация будет устойчивой.

На основании изложенного сделаем следующие выводы.

Модель мультиагента прогнозирования аварийных ситуаций автоматизированной мультиагентной системы управления может быть построена на основе методов распознавания образов с тригонометрической разделяющей функцией.

Метод позволяет оценивать весовые характеристики признаков и ранжировать их по значимости.

Устойчивость коэффициентов Фурье допускает некоторую неточность в их измерении, что особенно важно, так как часто вектор может быть получен только приближенно.

Литература

1.   Штейнбух К. Некоторые аспекты распознавания при моделировании и решении задач // Распознавание образов. Адаптивные системы: тр. Междунар. симпоз. по технич. и биологич. проблемам управления; гл. ред. В.А. Трапезников. (24–28 сентября 1968 г., Ереван). М.: Наука, 1971. 270 с.

2.   Журавлев Ю.И., Рязанов В.В., Сенько О.В. Распознавание. Математические методы. Программная система. Практические применения. М.: ФАЗИС, 2006. 176 с.