Software & Systems

Решение задачи построения кривой скольжения на поверхности конического инструмента в определенный момент времени необходимо, в первую очередь, для моделирования поверхности (объема), заметаемой инструментом в процессе многокоординатной фрезерной обработки. Эта задача, в свою очередь, актуальна при разработке CAM-систем и систем моделирования обработки.

Для решения рассматриваемой задачи рядом исследователей предложены различные методы (см. например [1–3]). Настоящая статья посвящена разработке подхода, в наибольшей степени соответствующего требованиям имеющегося пакета геометрического моделирования фрезерной обработки на станках с ЧПУ. Получено решение, обеспечивающее приемлемое быстродействие при требуемой точности построения.

Особенностью предлагаемого подхода является использование линейности изменения станочных координат положения инструмента при обработке. В любой момент времени вектор мгновенной скорости в пространстве изменяется линейно от одной точки к другой, что позволяет существенно упростить поиск точек на кривой скольжения. Кроме того, удалось построить алгоритм поиска таким образом, чтобы отсекаемая часть аппроксимированной поверхности инструмента оставалась выпуклой.

Постановка задачи: пусть на входе имеются контур конического инструмента, полная производная матрицы скорости по времени, матрица инструмента. Изменение всех координат считается линейным по времени [4]. Необходимо построить кривую скольжения  на поверхности инструмента в данный момент времени.

При рассмотрении задачи контур инструмента задан в плоскости xOz в положительной области по оси Ox. Инструмент может состоять из нескольких простых инструментов. Сам контур инструмента изначально не имеет экстремумов вдоль оси Ox. Контур непрерывен. Он начинается и оканчивается на оси Oz.

Для построения кривой скольжения необходимо дать ее определение. Кривая скольжения – это замкнутый контур на поверхности инструмента, в каждой точке которого скалярное произведение вектора внешней нормали к поверхности и вектора мгновенной скорости равно нулю [1]. Такое скалярное произведение в точках на поверхности режущей части инструмента является положительным (назовем эту область положительной). В результате задача построения кривой скольжения переходит в задачу построения кривой, ограничивающей положительную область поверхности инструмента. Для решения задачи необходимо научиться находить точки кривой скольжения.

Как известно, при движении сферической поверхности точки, лежащие на окружности большого радиуса в плоскости, перпендикулярной поступательной составляющей вектора скорости в центре сферы, будут образовывать кривую скольжения [5]. Назовем их граничными точками (grazing points). Поскольку инструмент, как и его контур, имеет вертикальную ориентацию относительно своей оси и существует понятие режущей стороны инструмента, есть смысл говорить о левой и правой сторонах кривой скольжения в направлении движения инструмента. Для построения кривой скольжения возьмем окружность с центром на оси инструмента, перпендикулярную этой оси, то есть набор точек на поверхности инструмента, расположенных на определенной высоте. Так как вектор скорости d в граничной точке должен быть перпендикулярным вектору внешней нормали n, пара граничных точек слева и справа должна располагаться в плоскости, перпендикулярной вектору d, а вектор n лежать в этой плоскости. Из рисунка 1 видно, что точки M0 и M1 лежат на кривой скольжения, так как удовлетворяют ее определению. При одной точке пересечения плоскости, перпендикулярной вектору d и окружности, взятой на некоторой высоте, можно говорить о петле кривой скольжения. Тогда кривая скольжения либо заканчивается в этой точке по причине замкнутости, либо будет состоять из нескольких компонент связности, каждая из которых удовлетворяет определению, данному выше.

Рассмотрим случай с конической поверхностью (рис. 1). Для нахождения граничных точек на некоторой высоте по оси Oz возьмем окружность с центром E на оси конуса, лежащую на его боковой поверхности и одновременно в плоскости, перпендикулярной оси Oz. Точки M0 и M1 имеют ту же скорость, что и точка Q. В этих точках внешние нормали перпендикулярны вектору скорости d, а значит, являются граничными точками.

При варианте с конусом наличие лишь одной граничной точки на определенной высоте по Oz возможно в двух случаях (рис. 2). Для этого необходимо, чтобы вектор скорости d в точке Q центра сферы имел тот же угол наклона к оси Oz, что и контур конуса. Тогда получаются две петли на конусе, причем будет справедливо следующее утверждение:

,                                                       (1)

где  – вектор мгновенной скорости в точке Q;    – орт оси Oz; q – угол полураствора контура.

Так как скорость вычисляется по формуле

,                                         (2)

где  – вектор мгновенной скорости в момент времени t;  – производная закона движения точки по t; P0 – точка в системе координат инструмента;  – полная производная матрицы скорости по времени, то можно утверждать, что вектор скорости линейно зависит от координат точки.

Представим в параметрическом виде вектор скорости  через векторы скорости  и :

,                      (3)

где , – векторы скоростей в точках Q0 и Q1; t – параметр вдоль оси инструмента (рис. 3).

Корнями уравнения

,                                                          (4)

где Q, Q0, Q1 – центры сфер, касательных к поверхности инструмента, служат значения параметров t, используя которые, можно найти точки Q для вершин петель, образованных кривой скольжения.

Используя рисунок 3, получим следующее выражение для вычисления координаты z экстремумов петель:

,(5)

где z0, z1 – координаты z вершин A и B контура конуса; R0 – радиус нижнего основания по оси Oz.

На элементе инструмента может располагаться одна петля в случае выхода одного из найденных z за пределы этого элемента или при вырождении уравнения (3) в линейное. У цилиндра, очевидно, cos2q=1 и, следовательно, совпадут точки Q и E. В итоге возможны два варианта: либо плоскость, перпендикулярная d, пересекает выбранную на определенной высоте окружность в двух точках, либо содержит ее целиком. Для построения кривой скольжения необходимо найти граничные точки, лежащие на ней.

Рассмотрим несколько способов нахождения граничных точек на кривой скольжения с последующим ее построением.

Первый способ – нахождение граничных точек для конкретных значений z, взятых с некоторым фиксированным шагом по высоте инструмента. Отклонение аппроксимирующей кривой от истинной кривой скольжения при этом не учитывается. Количество точек определено лишь количеством шагов вдоль оси инструмента и видом кривой.

Второй способ – поиск граничных точек с учетом отклонения аппроксимирующей ломаной от истинной кривой скольжения. Для каждой найденной точки аппроксимирующей кривой в направлении касательного вектора к кривой подбирается такой шаг, чтобы отклонение касательного вектора от истинной кривой скольжения не превышало допустимого значения. Для полученного значения z конца вектора ищется следующая граничная точка. В первом и втором способах используется метод касательной сферы [5].

Третий способ основан на поиске граничных точек с учетом линейности изменения вектора мгновенной скорости при движении по отрезку. Таким образом можно находить граничные точки на прямых, образующих боковую поверхность конического инструмента (рис. 4), используя определение кривой скольжения. На концах образующих вычисляются векторы мгновенных скоростей. Из линейного уравнения находится точка  на  образующей, в которой скалярное произведение нормали к поверхности и вектора мгновенной скорости равно нулю. При этом учитывается отклонение при построении образующих конуса. Количество точек ограничено габаритами инструмента, значением максимально допустимого отклонения и геометрией самой кривой скольжения. Для большей точности образующие подбираются так, чтобы точно найти экстремум петли граничной кривой.

Такой способ позволяет просто решить еще одну важную задачу. Нахождение кривой скольжения нужно, в первую очередь, для построения заметаемой поверхности, частью которой будет часть поверхности инструмента, ограниченная кривой скольжения. При аппроксимации этой поверхности многогранником (сеткой из треугольников) важно сохранить выпуклость. Если находить граничные точки одним из первых двух способов, а затем просто соединять их с точками на направляющей, то выпуклость, вообще говоря, будет нарушена. Третий же способ лишен этого недостатка, так как, если соединять найденные точки с концами соответствующих образующих, выпуклость гарантирована.

На основании полученных результатов разработаны программы моделирования кривой скольжения на поверхности конического инструмента при многокоординатной обработке. Программный модуль добавлен в состав симулятора обработки на станках с ЧПУ. Полученные результаты служат основой для построения поверхности, заметаемой инструментом при многокоординатной обработке.

Литература

1.     Wang W.P., Wang K.K. Geometric modeling for swept volume of moving solids. IEEE Computer Graphics and Applications. 1986. № 6 (12), pp. 8–17.

2.     Abdel-Malek K., Seaman W., Yeh H.-J. NC-verification of up to 5 axis machining processes using manifold stratification. ASME Journal of Manufacturing Science and Engineering. 2000. № 122, pp. 1–11.

3.     Weinert K., Du S.-J., Damm P., Stautner M. Swept volume generation for the simulation of machining processes. International Journal of Machine Tools and Manufacture. 2004. № 44 (6),        pp. 617–28.

4.     Будник А.И., Кац Е.И. Построение траектории движения инструмента при многокоординатной обработке // Программные продукты и системы. 2009. № 3.

5.     Eyyup Aras. Generating cutter swept envelopes in five-axis milling by two-parameter families of spheres. Computer-Aided Design. 2009. № 41, pp. 95–105.