Software & Systems

Для построения кривой скольжения существуют различные методы, предложенные, например, в работах [1, 2]. Решение задачи в дальнейшем необходимо для построения поверхности, заметенной инструментом при геометрическом моделировании фрезерной обработки на станках с ЧПУ. В данной статье рассматриваются особенности построения кривой скольжения на поверхности произвольного по форме инструмента.

Основная постановка задачи: на входе имеются контур инструмента, полная производная матрицы скорости по времени, матрица инструмента. Необходимо построить кривую скольжения на инструменте при движении в данный момент.

При рассмотрении задачи контур инструмента задан в плоскости xOz в положительной области по оси Ox. Инструмент может состоять из нескольких простых инструментов, контур каждого из которых представляет набор определенных элементов. В качестве элементов контура могут быть дуга окружности и прямая. В результате инструмент как тело вращения может представлять собой совокупность нескольких поверхностей вращения (рис. 1), таких как конус (цилиндр – как частный случай), сфера, тор, плоскость.

Кривой скольжения у сферы всегда будет являться окружность. Из постановки задачи понятно, что сфера может быть представлена максимум четвертью своей поверхности. Значит, кривая скольжения будет выглядеть как дуга, не превышающая четверти окружности.

Рассмотрим применение способа нахождения точек кривой скольжения методом касательной сферы (рис. 2) для таких видов элементов инструмента, как тор, сфера и плоскость.

На инструменте фрагмент поверхности тора может быть выпуклым как внутрь, так и наружу. Рассмотрим оба варианта расположения контура элемента инструмента. На рисунке 3а изображен контур выпуклого наружу фрагмента тора.

Для поиска центра Q сферы, касающейся выпуклого тора в точках на высоте точки E, используется следующее выражение, полученное по рисунку 3а:

.            (1)

Случай тора, выпуклого внутрь инструмента, изображен на рисунке 3б. Выражение для Q будет выглядеть следующим образом:

.             (1.1)

Если нормаль на поверхности тора параллельна его оси и точка Q стремится в бесконечность, радиус сферы |QP| с центром в Q будет бесконечно большим. Необходимо, чтобы граничные точки лежали на расстоянии  от оси инструмента. Это возможно только тогда, когда плоскость, перпендикулярная вектору скорости  в точке Q, перпендикулярна окружности в плоскости, перпендикулярной оси Oz с центром в точке E и с радиусом, равным . Граничные точки при этом могут быть лишь тогда, когда вектор скорости в точке Q будет перпендикулярен вектору

Поиск кривой скольжения происходит таким же образом, что и у сферы. Разница лишь в геометрии получившейся кривой скольжения. На рисунках 4а–4г показаны различные ситуации расположения кривой скольжения на поверхности тора. В качестве положительной области выступает режущая часть инструмента, в качестве отрицательной – нережущая.

Вращение вокруг оси, пересекающей ось инструмента, дает наличие двух экстремумов того же типа, как и у вырожденного в цилиндр конуса. Экстремумов вдоль оси Oz кривой скольжения на торе может быть как один, так и два. Случай с одной петлей является более общим случаем расположения кривой на поверхности тора (рис. 4г). Пунктирными линиями на рисунках изображены радиусы вращения граничных точек. Как и в предыдущих случаях, угол между вектором нормали к поверхности и вектором скорости определяет знак скалярного произведения (2).

При построении кривой скольжения можно аппроксимировать контур тора ломаной кривой. В результате тор можно представить в виде нескольких конусов разной конусности, соединенных друг с другом. В таком случае решение задачи сводится к построению кривой скольжения на поверхности конического инструмента, а также к соединению сегментов кривых между соседними элементами инструмента.

Рассмотрим случай с нахождением граничных точек на элементе инструмента в виде плоского диска. Из определения  кривой скольжения [2] можно вывести следующее выражение:

                                                       (2)

где  – вектор нормали к диску;  – вектор мгновенной скорости в точке на диске с координатами (x, y);

                                          (2.1)

где P(x, y) – точка на диске с координатами (x, y); M – матрица полной мгновенной скорости.

Точку на диске можно выразить следующим образом.

Поскольку у диска высота граничных точек одна, то результатом его пересечения с плоскостью, перпендикулярной вектору скорости в точке Q, будет являться прямая в виде отрезка. Для нахождения пары граничных точек на окружностях диска необходимо решить систему уравнений (2) и уравнение окружности.

Кривая скольжения на боковой поверхности диска представляет собой один или два отрезка (рис. 5).

Так как граничные точки на общем основании для соседних элементов инструмента могут не совпадать (рис. 6), а кривая скольжения обладает свойством непрерывности, необходим алгоритм соединения сегментов кривой скольжения. Из постановки задачи следует, что такое соединение находится исходя из соображения смены режущей поверхности на нережущую.

На основе рассмотренных способов построения кривой скольжения разработаны программы построения кривой скольжения на поверхности различного вида инструмента при многокоординатной обработке. Средой разработки выступила MS Visual Studio 2010, а в качестве языка программирования выбран С++.

Особенность реализации алгоритма заключается в возможности создания методов программы, основанных на операциях с матрицами и векторами, таких как скалярное произведение, вычисление модуля вектора, умножение вектора на матрицу и т.д. Были созданы методы для поиска точки кривой скольжения на прямой образующей конуса, метод поиска сегментов кривой скольжения на основании двух соседних элементов инструмента.

Структура данных программы должна была предполагать все возможные варианты хранения кривой скольжения различного вида. Для этого создан класс GrazingCurve (кривая на всем инструменте), содержащий массив из объектов типа GrazingCurveElemTool, соответствующий части кривой, расположенной на определенном элементе инструмента. Внутри таких объектов содержится до восьми типов сегментов, представленных массивами из опорных точек. Сегменты делятся по типу расположения: на основании элемента инструмента или на его боковой поверхности, на верхней петле или на нижней (рис. 4б, 6в), справа или слева по ходу движения инструмента, если смотреть с конца оси Oz. Такая структура данных дает возможность декомпозиции задачи для каждого элемента инструмента, имеющего определенную геометрическую форму, сводя вычисления к более простому виду.

Созданный программный модуль добавлен в состав NCManager – симулятора обработки на станках с ЧПУ. Результаты разработок служат основой для построения поверхности, заметенной инструментом при многокоординатной обработке.

Литература

1.     Eyyup Aras. Generating cutter swept envelopes in five-axis milling by two-parameter families of spheres. Computer-Aided Design. 2009. № 41, pp. 95–105.

2.     Wang WP, Wang KK. Geometric modeling for swept volume of moving solids. IEEE Computer Graphics and Applications. 1986. № 6 (12), pp. 8–17.