Software & Systems

В настоящее время спутниковые системы (СС) используются во многих областях: в связи, ра- дио- и телевещании, навигации, метеорологии, контроле за движением транспорта и др. Для рациональной организации движения искусственных спутников Земли (ИСЗ) требуется решать задачи оптимизации параметров этого движения. Существует много работ на данную тему [1–7 и др.], но они в основном посвящены движению СС по круговым орбитам. Возможности систем с некруговыми (эллиптическими) орбитами недостаточно изучены. В то же время большинство СС (в частности СС непрерывного обзора Земли) используют ИСЗ именно на эллиптических орбитах [8], что обусловлено физическими принципами построения аппаратуры наблюдения.

В работе [9] исследована возможность применения теории групп для решения данной задачи. В связи с этим актуальны задачи оптимизации движения СС с орбитами эллиптического типа. И первым шагом является формирование критерия оптимальности СС [10].

Модель движения СС, параметры которого подлежат оптимизации в задаче непрерывного обзора поверхности Земли СС с орбитами эллиптического типа (ОЭТ), должна отвечать следующим условиям:

–      система состоит из N ИСЗ, которые движутся по m орбитам по n спутников на каждой, N = m × n;

–      все спутники движутся по ОЭТ с периодом Tl, ;

–      движение ИСЗ невозмущенное;

–      сопротивление атмосферы, нецентральность поля тяготения Земли, влияние Луны, Солнца, давление солнечного света и другие подобные факторы, оказывающие существенное воздействие на движение спутников, не учитываются;

–      поверхность Земли является сферой радиуса RЗ.

Каждый k-й ИСЗ () в любой момент «видит» на поверхности Земли сферический круг некоторого углового радиуса αk(t) с центром в подспутниковой точке (рис. 1), изменяющийся с течением времени при полете ИСЗ от своего перигея к апогею. Кроме этого, каждый спутник имеет свой угол обзора. Допустим, что угол обзора любого спутника системы данной задачи один и тот же и равен 2γ (рис. 1). Система ИСЗ обеспечивает непрерывный обзор Земли, если любая точка поверхности в любой момент видна хотя бы с одного из спутников [1].

Орбита каждого k-го ИСЗ  системы характеризуется шестью независимыми кеплеровскими элементами [11]: ik – наклонение, Ωk – долгота восходящего узла, ak – большая полуось, ek – эксцентриситет, ωk – аргумент перигея, τk – время прохождения перигея.

Таким образом, структура всей системы ИСЗ определяется 6×N кеплеровскими элементами.

Пусть  – множество кеплеровских параметров орбиты k-го ИСЗ {ak, ek, ik, Ωk, ωk, τk}, которые имеют следующее множество допустимых значений Gk:

.

Обозначим rk радиус-вектор, направленный из центра масс Земли на k-й ИСЗ в момент времени t (рис. 2). Выберем на поверхности Земли произвольную точку А с радиус-вектором rA. Геоцентрическое угловое расстояние f между этой точкой и k-м спутником в момент времени t определяется параметрами rk, rA и t. Обозначим соответствующую зависимость через f(rk, rA, t). Тогда

,                                 (1)

где (*,*) – операция скалярного произведения векторов; |*| – длина вектора.

Пусть Oxyz – декартова (гринвичская) система координат с началом в центре Земли, ось Ox которой лежит в плоскости экватора и проходит через гринвичский меридиан, ось Oz направлена вдоль оси вращения Земли в сторону Северного полюса, а ось Oy дополняет систему до правой.

Пусть радиус-вектор rA имеет координаты (xA, yA, zA). Координаты (xk, yk, zk) радиус-вектора rk вычисляются по следующим формулам [11]:

,

,

где uk – аргумент широты ИСЗ; ϑk – истинная аномалия заданной точки на орбите.

Для нахождения истинной аномалии используем следующий алгоритм [12].

1. Вычисляем период обращения ИСЗ по эллиптической орбите , где µ – гравитационная постоянная, равная 398620 км3/с2, и его геоцентрическую угловую скорость:

.

2. Определяем среднюю аномалию, соответствующую истинной аномалии ϑk в момент времени t: Mk = nk (t – tk).

3. Решаем уравнение Кеплера: Ek=ek sin Ek +Mk и находим эксцентрическую аномалию Ek. Уравнение Кеплера целесообразно решать методом последовательных приближений.

4. Используя формулу , вычисляем истинную аномалию ϑk: .

Тогда (1) можно переписать следующим образом:

.

Выбранная точка А на поверхности Земли будет видна в момент времени t по крайней мере одним из спутников системы тогда и только тогда, когда минимальное из чисел f(r1, rA, t), f(r2, rA, t), …, f(rN, rA, t) не превышает . Поэтому для того, чтобы система осуществляла непрерывный обзор Земли, необходимо и достаточно [1] выполнения неравенства

,       (2)

где S – множество точек поверхности Земли; topt – момент времени, когда достигает оптимума левая часть (2).

Геоцентрический угловой радиус αk(t) в мо­мент времени t определяется по формуле (рис. 1):

.

Поскольку rk полностью выражается через параметры орбиты , то (2) можно переписать в виде:

.(3)

Обозначим через f(Pорб, rA, t) левую часть неравенства (3). Наша задача такова: найти минимум функции

,

определенной на множестве , то есть решить задачу

,

затем проверить выполнение условия (3).

Обратим внимание на то, что параметры ak, ek, ik, Ωk, ωk у спутников одной орбиты одинаковые. Значит, 5+n параметров имеют спутники одной орбиты, а вся спутниковая система имеет (5+n)∙m= =5m+N параметров. Поэтому число параметров нашей задачи сокращается с 6N до 5m+N.

Каждому моменту времени tj для каждого спутника (индекс k опускаем) при заданных элементах орбиты соответствует подспутниковая точка с долготой λj и геоцентрической широтой ψj, которые вычисляются [11] по следующим формулам: ,

, , , где tΩ – время прохождения ИСЗ экватора в восходящем узле орбиты; ωЗ – угловая скорость вращения Земли, равная 7,29211×10–5 1/c; SΩ – звездное время по Гринвичу в момент прохождения ИСЗ восходящего узла орбиты.

Геометрическое место подспутниковых точек называется трассой ИСЗ [10].

Наглядно представить полученные при реализации описанного в данной статье научно-методи­ческого аппарата трассы ИСЗ можно с помощью среды программирования MathCAD2014.

В качестве примера рассмотрим трассы трех ИСЗ, распределенных по трем орбитальным плоскостям с высотой перигея 500 км, высотой апогея 40 000 км, с наклонением 63,4 ̊, разнесенных по экватору на 120 ̊.

На рисунке 3а изображен график изменения геоцентрической широты (одинаковой для всех трех спутников) подспутниковой точки в зависимости от времени tj, на рисунках 3б, в, г – графики изменения долготы подспутниковой точки для долгот восходящих узлов 0 ̊, 120 ̊, 240 ̊ соответственно.

На рисунке 4 приведены траектории движения подспутниковых точек на фоне карты Земли.

Полученные результаты дают основание для вывода о том, что приведенный выше научно-методический аппарат работоспособен и позволяет получить за приемлемое время при использовании разумных вычислительных ресурсов результаты по построению орбитальной группировки на эллиптических орбитах для изменяющихся в широких пределах (1÷10) количества орбит и спутников (1÷10) на каждой орбите.

Таким образом, использование обоснованного в работе подхода к моделированию процесса оптимизации параметров эллиптических орбит спутниковой системы непрерывного обзора поверхности Земли на основе выбранного критерия оптимальности параметров орбит позволит получить оптимальные значения параметров орбит. Одним из вариантов достижения этого результата может быть решение сформулированной в работе оптимизационной задачи с привлечением современных компьютерных вычислительных методов.

Литература

1.     Можаев Г.В. Синтез орбитальных структур спутниковых систем (теоретико-групповой подход). М.: Машиностроение, 1989. 304 с.

2.     Можаев Г.В. Проблемы оптимизации движения спутниковых систем: состояние исследований и перспективы // Труды МАИ. 2009. Вып. 34; URL: http://www.mai.ru/science/tru­dy/published.php?ID=7434 (дата обращения: 12.11.2014).

3.     Галиев Ш.И., Заботин В.И. О непрерывном обзоре поверхности Земли // Исследование Земли из космоса. 1983. № 1. С. 117–120.

4.     Заботин В.И. Модели спутниковых систем глобальной связи на эллиптических орбитах // Исследование Земли из космоса. 1994. № 5. C. 70–76.

5.     Горбулин В.И. Оптимизация орбитального построения глобальных космических систем наблюдения. СПб: Изд-во МО РФ, 2001. 171 с.

6.     Горбулин В.И. Новый способ оптимизации орбитального построения глобальных спутниковых систем // Полет. 2001. № 12. С. 20–26.

7.     Решетников В.Н. Космические телекоммуникации (Начала). Тверь: Изд-во НИИ ЦПС, 2009. 128 с.

8.     Тарасенко М.В. Военные аспекты советской космонавтики. М.: Агентство российской печати. ТОО «Николь», 1992. 164 с.

9.     Арепин Ю.И., Доронкина А.Н. Теоретико-групповой подход к решению задачи синтеза орбитальных группировок космических аппаратов на орбитах эллиптического типа // 43 воен.-науч. конф. ВА ВКО им. Г.К. Жукова: науч.-методич. сб., секция № 2. Тверь, 2014.

10.  Рейзлин В.И. Численные методы оптимизации. Томск: Изд-во Том-ПИ, 2011. 105 с.

11.  Баринов К.Н., Бурдаев М.Н., Мамон П.А. Динамика и принципы построения орбитальных систем космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1975. 270 с.

12.  Эльясберг П.Е. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли. М.: Наука, 1965.